Question

【題目】橢圓 的離心率為 ，右焦點(diǎn)到直線 的距離為 ，過(guò)M（0，﹣1）的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l交x軸于N， ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)右焦點(diǎn)為（c，0）（c＞0）

∵右焦點(diǎn)到直線 的距離為 ，

∴

∴

∵橢圓 的離心率為 ，

∴

∴

∴

∴橢圓的方程為 ；

（2）解：設(shè)A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）

∵ ，

∴ x2﹣x0，y2）

∴ ①

易知直線斜率不存在時(shí)或斜率為0時(shí)①不成立

于是設(shè)直線l的方程為y=kx﹣1（k≠0）．

與橢圓方程聯(lián)立 ，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0②

∴ ③ ④

由①③可得 ， 代入④整理可得：8k4+k2﹣9=0

∴k2=1

此時(shí)②為5y2+2y﹣7=0，判別式大于0

∴直線l的方程為y=±x﹣1

【解析】（1）根據(jù)右焦點(diǎn)到直線 的距離為 ，可得 ，利用橢圓 的離心率為 ，可得 ，從而可得 ， ，故可求橢圓的方程；（2）設(shè)A （x1 ， y1），B（x2 ， y2），N（x0 ， 0），利用 ，可得 x2﹣x0 ， y2），設(shè)直線l的方程為y=kx﹣1（k≠0）．與橢圓方程聯(lián)立 ，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0，由此即可求得直線l的方程．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．