Question

某校高一學生1000人，每周一次同時在兩個可容納600人的會議室，開設“音樂欣賞”與“美術鑒賞”的校本課程．要求每個學生都參加，要求第一次聽“音樂欣賞”課的人數(shù)為，其余的人聽“美術鑒賞”課；從第二次起，學生可從兩個課中自由選擇．據(jù)往屆經(jīng)驗，凡是這一次選擇“音樂欣賞”的學生，下一次會有20﹪改選“美術鑒賞”，而選“美術鑒賞”的學生，下次會有30﹪改選“音樂欣賞”，用分別表示在第次選“音樂欣賞”課的人數(shù)和選“美術鑒賞”課的人數(shù)．
(1)若，分別求出第二次,第三次選“音樂欣賞”課的人數(shù)；
(2)①證明數(shù)列是等比數(shù)列，并用表示；
②若要求前十次參加“音樂欣賞”課的學生的總人次不超過5800，求的取值范圍．

Answer 1

(1)，（2）① ②,且

試題分析：解決數(shù)列實際應用問題的關鍵是把實際問題隨著正整數(shù)變化的量用數(shù)列表達出來，然后利用數(shù)列知識對表達的數(shù)列進行求解(求和、研究單調性、最值等)，根據(jù)求解結果對實際問題作出答案．根據(jù)題意(1)
，分別取，即可求出，（2）①由題意得，由 ，代入即可得證；②前十次聽“音樂欣賞”課的學生總人次即為數(shù)列的前10項和，根據(jù)題意，，由已知，，得，解之即可．
(1)由已知，又，,
∴，
∴，
∴．
(2) ①由題意得，
∴，
∴，         
，∴，
∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比為首項為  
∴，
得     
②前十次聽“音樂欣賞”課的學生總人次即為數(shù)列的前10項和，
，
由已知，，得，
∴ ，∴，
，∴的取值范圍是,且．