Question

某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果每件商品在該售價(jià)的基礎(chǔ)上每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于65元）．設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤為y元．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

Answer 1

解：（1）當(dāng)每件商品的售價(jià)上漲x元時(shí)，
每件產(chǎn)品的利潤為50+x-40，
此時(shí)的銷量為210-10x，
∴每個(gè)月的銷售利潤為y元與每件商品的售價(jià)上漲x元滿足
y=（210-10x）（50+x-40）=-10x²+110x+2100（0＜x≤15且x為正整數(shù)）；
（2）y=-10（x-5.5）²+2402.5．
∵a=-10＜0，
∴當(dāng)x=5.5時(shí)，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x為正整數(shù)，
當(dāng)x=5時(shí)，50+x=55，y=2400（元），當(dāng)x=6時(shí)，50+x=56，y=2400（元）
∴當(dāng)售價(jià)定為每件55或56元，每個(gè)月的利潤最大，最大的月利潤是2400元；
分析：（1）根據(jù)題意可得每件產(chǎn)品的利潤為50+x-40，此時(shí)的銷量為210-10x，進(jìn)而可得每個(gè)月的銷售利潤為y元與每件商品的售價(jià)上漲x元的關(guān)系式，結(jié)合實(shí)際，即既要漲價(jià)，還應(yīng)保證銷量不能為負(fù)值得到自變量x的取值范圍；
（2）根據(jù)（1）中所得函數(shù)的解析，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及x為正整數(shù)，可得每月的最大利潤．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，其中根據(jù)題意分析出每個(gè)月的銷售利潤為y元與每件商品的售價(jià)上漲x元的關(guān)系式，是解答的關(guān)鍵．