Question

已知復數z滿足|z|=

2

，z²的虛部為2．
（I）求z；
（II）設z，z²，z-z²在復平面對應的點分別為A，B，C，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）設出復數的代數形式的式子，根據所給的模長和z²的虛部為2．得到關于復數實部和虛部的方程組，解方程組，得到要求的復數．
（2）寫出所給的三個復數的表示式，根據代數形式的表示式寫出復數對應的點的坐標，即得到三角形的三個頂點的坐標，求出三角形的面積，注意三個點的坐標有兩種結果，不要漏解．

解答：解：（I）設Z=x+yi（x，y∈R）
由題意得Z²=（x-y）²=x²-y²+2xyi
∴

x2+y2 = 2 (1) 2xy=1(2)

故（x-y）²=0，∴x=y將其代入（2）得2x²=2∴x=±1
故

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

故Z=1+i或Z=-1-i；
（II）當Z=1+i時，Z²=2i，Z-Z²=1-i
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1）
∴|AC|=2，S△ABC=

1

2

×1×2=1
當Z=-1-i時，Z²=2i，Z-Z²=-1-3i，A（-1，-1），B（0，2），C（-1，3）
S△ABC=

1

2

×1×4=2．

點評：本題是對復數兩種形式和復數的模長的考查，要對復數的兩種形式變換自如，這種題目一般不會出成解答題，而是以選擇和填空形式出現．