Question

如圖，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)，．
（I）證明AB₁∥平面DBC₁
（II）求異面直線(xiàn)AB₁與BC₁所成的角
（III）求以BC₁為棱，DBC₁與CBC₁為面的二面角的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（I）要證明線(xiàn)面平行，需要在面上找一條和已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)，根據(jù)四邊形B₁BCC₁是矩形．連接B₁C交BC₁于E，則B₁E=EC．連接DE，在△AB₁C中，AD=DC，得到DE∥AB₁，這樣題目得證．
（II）以DB為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，構(gòu)造兩個(gè)向量的方向向量，方向向量所成的角的余弦值的絕對(duì)值就是要求的角的余弦值，本題比較特殊是一個(gè)直角．
（III）要求兩個(gè)平面所成的角，需要先寫(xiě)出兩個(gè)平面的法向量，其中這兩個(gè)平面有一個(gè)法向量是已知的，另一個(gè)需要設(shè)出來(lái)，再根據(jù)法向量與平面上的向量數(shù)量積等于0，寫(xiě)出一個(gè)法向量，根據(jù)向量所成的角得到結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）證明：∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，
∴四邊形B₁BCC₁是矩形．
連接B₁C交BC₁于E，則B₁E=EC．
連接DE，在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁，
又AB₁?平面DBC₁，DE?平面DBC₁，
∴AB₁∥平面DBC₁．      
（Ⅱ）設(shè)D₁是A₁C₁的中點(diǎn)，則DD₁⊥平面ABC．
所以，以DB為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸（如圖）建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AB=2，則，C（0，1，0），A（0，-1，0），，．
∴，，
∵，∴，
即，AB₁與BC₁所成的角為90°．                           
（Ⅲ）∵BC的中點(diǎn)，
∴，
∴可取平面CBC₁的法向量為．
設(shè)平面BC₁D的法向量為，
則⇒
∴可取．
∵，
∴面DBC₁與面CBC₁所成的二面角為45°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用空間向量求解兩個(gè)平面之間的夾角和異面直線(xiàn)所成的角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，本題理論推導(dǎo)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)字的運(yùn)算問(wèn)題，本題是一個(gè)中檔題目．