已知P是圓M：x2+y2+4x+4-4m2=0(m>0且m≠2)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2，0)，線段NP的垂直平分線交直線MP于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為C.
（1）求出軌跡C的方程，并討論曲線C的形狀；
（2）當(dāng)m=時(shí)，在x軸上是否存在一定點(diǎn)E，使得對(duì)曲線C的任意一條過(guò)E的弦AB，為定值？若存在，求出定點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（1）當(dāng)m>2，，軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為；
當(dāng)m<2，軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，其方程為；
（2）定點(diǎn)，定值為6.

解析試題分析：（1）利用線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)橢圓的定義，即可求出軌跡的方程；當(dāng)時(shí)，根據(jù)雙曲線的定義，即可求出軌跡的方程；（2）當(dāng)時(shí)，軌跡必為橢圓方程，設(shè)，分別過(guò)E取兩垂直與坐標(biāo)軸的兩條弦CD，，根據(jù)求出E若存在必為定值為6.再進(jìn)行證明．存在性問(wèn)題，先猜后證是關(guān)鍵.再設(shè)設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線方程，代入橢圓方程，消去，設(shè)，，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求得為定值6.
（1）由題意，，所以，
所以軌跡是以、為焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸的橢圓，
當(dāng)m>2，，軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為；
當(dāng)m<2，軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，其方程為（4分）
（2）由（1）當(dāng)時(shí)，曲線C為，
設(shè)，分別過(guò)E取兩垂直于坐標(biāo)軸的兩條弦CD，，
則，即
解得，∴E若存在必為定值為6.（6分）
下證滿(mǎn)足題意.
設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線方程為，代入C中得:
，設(shè)、，
則，，（8分）


.
同理可得E也滿(mǎn)足題意.
綜上得定點(diǎn)為E，定值為（13分）
考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用，圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程，軌跡方程的問(wèn)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知⊙O′過(guò)定點(diǎn)A(0，p)(p＞0)，圓心O′在拋物線C：x2＝2py(p＞0)上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O′在x軸上所截得的弦．

(1)當(dāng)O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否有變化？并證明你的結(jié)論；
(2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項(xiàng)時(shí)，試判斷拋物線C的準(zhǔn)線與圓O′的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿(mǎn)分13分）
如圖，已知拋物線，過(guò)點(diǎn)任作一直線與相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與直線相交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

(1)證明：動(dòng)點(diǎn)在定直線上；
(2)作的任意一條切線（不含軸）與直線相交于點(diǎn)，與（1）中的定直線相交于點(diǎn)，證明：為定值，并求此定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè),分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；
（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B，拋物線分別以A,B為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，與相交于直線上一點(diǎn)P.
（1）求橢圓C及拋物線的方程；
（2）若動(dòng)直線與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N，已知點(diǎn)，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別是A、B，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，連接AN、BM相交于G點(diǎn)，試求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓的方程為，定直線的方程為．動(dòng)圓與圓外切，且與直線相切．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
（2）直線與軌跡相切于第一象限的點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)作直線的垂線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并交軌跡于異于點(diǎn)的點(diǎn)，求直線的方程及的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（14分）（2011•湖北）平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1（﹣a，0），A2（a，0）（a＞0）連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上A1、A2兩點(diǎn)所成的曲線C可以是圓、橢圓成雙曲線．
（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)m=﹣1時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線為C1；對(duì)給定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），對(duì)應(yīng)的曲線為C2，設(shè)F1、F2是C2的兩個(gè)焦點(diǎn)．試問(wèn)：在C1上，是否存在點(diǎn)N，使得△F1NF2的面積S=|m|a2．若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（2012•廣東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最大值為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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