Question

動點P到兩定點A（a，0），B（-a，0）連線的斜率的乘積為k，試求點P的軌跡方程，并討論軌跡是什么曲線？

Answer 1

分析：由題設(shè)知直線PA與PB的斜率存在，所以kPA•kPB=

y

x-a

•

y

x+a

=k，由此能夠?qū)С鰟狱cP的軌跡C的方程．再對k值進行分類討論：當(dāng)k＞0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線（除去頂點）；當(dāng)-1＜k＜0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x軸上的橢圓（除去長軸兩個端點）；當(dāng)k=-1時，軌跡C為以原點為圓心，1的半徑的圓除去點（-1，0），（1，0）；當(dāng)k＜-1時，軌跡C為中心在原點，焦點在y軸上的橢圓（除去短軸的兩個端點）．

解答：解：由題設(shè)知直線PA與PB的斜率存在，所以kPA•kPB=

y

x-a

•

y

x+a

=k，
整理得，點P的軌跡方程為kx²-y²=ka²（x≠±a）；
①當(dāng)k＞0，點P的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線（除去A，B兩點）
②當(dāng)k=0，點P的軌跡是x軸（除去A，B兩點）
③當(dāng)-1＜k＜0時，點P的軌跡是焦點在x軸上的橢圓（除去A，B兩點）
④當(dāng)k=-1時，點P的軌跡是圓（除去A，B兩點）
⑤當(dāng)k＜-1時，點P的軌跡是焦點在y軸上的橢圓（除去A，B兩點）

點評：本題考查圓錐曲線的軌跡問題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．