【題目】己知函數(shù),

I求函數(shù)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

II設(shè),若函數(shù)上是增函數(shù).

求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 II的取值范圍是

【解析】試題分析:(1)先求得, 時(shí), 恒成立,可證明時(shí), ,可得上單調(diào)遞減,根據(jù)零點(diǎn)定理可得結(jié)果;(2)化簡(jiǎn)為分段函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,討論兩種情況,分別分離參數(shù)求最值即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析:函數(shù) ,

求導(dǎo),得

當(dāng)時(shí), 恒成立,

當(dāng)時(shí),

,

上恒成立,故上單調(diào)遞減.

,

曲線[1,2]上連續(xù)不間斷,

∴由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知,唯一的1,2),使,

所以,函數(shù)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1

II由(Ⅰ)知:當(dāng)時(shí), 0,當(dāng)時(shí), 0

∴當(dāng)時(shí), =

求導(dǎo),得

由于函數(shù)上是增函數(shù) , 上恒成立.

①當(dāng)時(shí), ≥0上恒成立,

上恒成立,

, ,則,,

所以, 上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

min= 極小值= ,

上恒成立,只需 ,即

②當(dāng)時(shí), ,

當(dāng)時(shí), 上恒成立,

綜合①②知,當(dāng)時(shí),函數(shù)上是增函數(shù).

故實(shí)數(shù)的取值范圍是

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