Question

【題目】一塊邊長(zhǎng)為的正三角形薄鐵片，按如圖所示設(shè)計(jì)方案，裁剪下三個(gè)全等的四邊形（每個(gè)四邊形中有且只有一組對(duì)角為直角），然后用余下的部分加工制作成一個(gè)“無蓋”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．

（Ⅰ）請(qǐng)將加工制作出來的這個(gè)“無蓋”的正三棱柱形容器的容積表示為關(guān)于的函數(shù)，并標(biāo)明其定義域；

（Ⅱ）若加工人員為了充分利用邊角料，考慮在加工過程中，使用裁剪下的三個(gè)四邊形材料恰好拼接成這個(gè)正三棱柱形容器的“頂蓋”．

（1）請(qǐng)指出此時(shí)的值（不用說明理由），并求出這個(gè)封閉的正三棱柱形容器的側(cè)面積；

（2）若還需要在該正三棱柱形容器中放入一個(gè)金屬球體，試求該金屬球體的最大體積．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（Ⅰ）先求三棱柱的高，底面積,再求三棱柱的容積V和函數(shù)的定義域. （Ⅱ）(1) 此時(shí)，而相應(yīng)棱柱的高，再求側(cè)面積.(2)先求得 正三棱柱的高為，底面正三角形的內(nèi)切圓半徑為，再分析得到球體體積最大時(shí)，其直徑應(yīng)與高相等，即得球體半徑和該金屬球體的最大體積．

（Ⅰ）結(jié)合平面圖形數(shù)據(jù)及三棱柱直觀圖，易求得：

三棱柱的高，其底面積

則三棱柱容器的容積

即所求函數(shù)關(guān)系式為．

（Ⅱ）（1）此時(shí)，而相應(yīng)棱柱的高，

故（注：側(cè)面積求法不唯一）

（2）結(jié)合底面邊長(zhǎng)和棱柱的高的數(shù)據(jù)可得：

①該正三棱柱的高為；②底面正三角形的內(nèi)切圓半徑為，

由此易知球體體積最大時(shí)，其直徑應(yīng)與高相等，則球體半徑，

故球體最大體積