Question

已知下列四個命題：
①若函數(shù)f（x）為減函數(shù)，則函數(shù)y=-f（x）為增函數(shù)；
②若函數(shù)f（x）為增函數(shù)，則函數(shù)g（x）=

1

f(x)

在其定義域內(nèi)為減函數(shù)；
③若冪函數(shù)y=x^k（k=1，2，3，

1

2

，-1）是奇函數(shù)，則y=x^k是定義域上的增函數(shù)；
④若函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在區(qū)間[-a，a]上都是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）g（x）在區(qū)間[-a，a]是偶函數(shù)，
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：①利用復合函數(shù)的單調(diào)性可判斷①；
②舉例說明，f（x）=x，g（x）=

1

x

在其定義域（-∞，0）∪（0，+∞）內(nèi)不是減函數(shù)，可判斷②；
③若冪函數(shù)y=x^k（k=1，2，3，

1

2

，-1）是奇函數(shù)，當k=-1時，y=

1

x

在其定義域（-∞，0）∪（0，+∞）內(nèi)不是減函數(shù)，可判斷③；
④構造函數(shù)F（x）=f（x）•g（x），x∈[-a，a]，利用偶函數(shù)的定義可判斷④．

解答： 解：對于①，若函數(shù)f（x）為減函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可知，函數(shù)y=-f（x）為增函數(shù)，故①正確；
對于②，若函數(shù)f（x）為增函數(shù)，則函數(shù)g（x）=

1

f(x)

在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，錯誤．例如f（x）=x，g（x）=

1

x

在其定義域（-∞，0）∪（0，+∞）內(nèi)不是減函數(shù)；故②錯誤
對于③，若冪函數(shù)y=x^k（k=1，2，3，

1

2

，-1）是奇函數(shù)，則k=1，或k=3，或k=-1，
當k=-1時，y=

1

x

在其定義域（-∞，0）∪（0，+∞）內(nèi)不是減函數(shù)，故③錯誤；
對于④，因為函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在區(qū)間[-a，a]上都是奇函數(shù)，
令F（x）=f（x）•g（x），x∈[-a，a]，
則F（-x）=f（-x）•g（-x）=[-f（x）]•[-g（x）]=f（x）•g（x）=F（x），
所以函數(shù)y=f（x）g（x）在區(qū)間[-a，a]是偶函數(shù)，故④正確．
故答案為：①④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查分析、推理能力，屬于中檔題．