Question

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（-

1

p

，0），點(diǎn)M在定直線x=-p（p＞0）上移動(dòng)，點(diǎn)N在線段MO的延長(zhǎng)線上，且滿(mǎn)足

|OM|

|MN|

=

1

|NA|

．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線？
（Ⅱ）若|AN|的最大值≤

3

2

，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用直接法求軌跡方程即可，先設(shè)出點(diǎn)N坐標(biāo)，把M點(diǎn)的坐標(biāo)用N點(diǎn)坐標(biāo)表示，再代入

|OM|

|MN|

=

1

|NA|

，化簡(jiǎn)，即可得動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程，再按照p的取值范圍討論點(diǎn)N的軌跡是什么曲線．
（Ⅱ）用A，N的坐標(biāo)表示|AN|，化簡(jiǎn)可得含N點(diǎn)橫坐標(biāo)的式子，再根據(jù)（Ⅰ）中得到的曲線范圍，求出|AN|的最大值，再令|AN|的最大值小于等于

3

2

，解出p即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)N（x₀，y₀），（x₀＞0），則直線ON方程為y=

y0

x0

x，與直線x=-p交于點(diǎn)M（-p，-

py0

x0

），
代入

|OM|

|MN|

=

1

|NA|

得，

(-p)2+(- py0 x0 )2

(x0+p)2+(y0+  py0 x0 )2

=

1

(x0+ 1 p )2+ y02

或

1 +( y0 x0 )2 |0-(-p)|

1 +( y0 x0 )2 |x0-(-p)|

=

1

(x0+ 1 p )2+y02

化簡(jiǎn)得（p²-1）x₀²+p²y₀²=p²-1．
把x₀，y₀換成x，y得點(diǎn)N的軌跡方程為（p²-1）x²+p²y²=p²-1．（x＞0）
（1）當(dāng)0＜p＜1時(shí)，方程化為x²-

y2

1-p2 p2

=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支；
（2）當(dāng)p=1時(shí)，方程化為y=0，表示一條射線（不含端點(diǎn)）；
（3）當(dāng)p＞1時(shí)，方程化為x²+

y2

p2-1 p2

=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的右半部分．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知|AN|=

(x0+ 1 p )2+ y02

=

(x0+ 1 p )2+1- 1 p2 -(1- 1 p2 ) x02

=

1 p2 x02+ 2 p x0+ 1

=

1

p

x₀+1．

當(dāng)0＜p＜1時(shí)，因x₀∈[1，+∞），故|AN|無(wú)最大值，不合題意．
當(dāng)p=1，因x₀∈（0，+∞），故|AN|無(wú)最大值，不合題意．
當(dāng)p＞1時(shí)，x₀∈（0，1]，故當(dāng)x₀=1時(shí)，|AN|有最大值

1

p

+1，由題意得

1

p

+1≤

3

2

，
解得p≥2．所以p的取值范圍為[2，+∞）．
命題意圖：通過(guò)用設(shè)點(diǎn)，代換，化簡(jiǎn)，檢驗(yàn)等步驟求曲線方程，考查解析幾何中已知曲線求方程的能力，并結(jié)合含參數(shù)的方程表示的曲線類(lèi)型的討論考查學(xué)生的分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直接法求軌跡方程，以及最值的求法，綜合性強(qiáng)，做題時(shí)要認(rèn)真分析．