【題目】如圖,在正方體中,,分別是棱,的中點,為棱上一點,平面.

(1)證明:中點;

(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)銳二面角的余弦值為.

【解析】試題分析:(1)的中點,連接,利用,證得四邊形為平行四邊形,則,所以的中點;

(2)以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨令正方體的棱長為2,利用兩個面的法向量求解即可.

試題解析:

(1)證明:取的中點,連接,因為,所以的中點,又的中點,所以,因為平面,平面,平面平面,所以,即,又,所以四邊形為平行四邊形,則,所以的中點.

(2)解:以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨令正方體的棱長為2,則,可得,,設是平面的法向量,則.令,得.

易得平面的一個法向量為,

所以 .

故所求銳二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】已知橢圓 的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切. 、是橢圓的右頂點與上頂點,直線與橢圓相交于、兩點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)當四邊形面積取最大值時,求的值.

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【題目】如圖, , 中點,且平面, .已知.

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(2)求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù), .

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)已知,若函數(shù)恒成立,試確定的取值范圍.

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【題目】自出生之日起,人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況就呈周期變化,變化由線為.根據(jù)心理學家的統(tǒng)計,人體節(jié)律分為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律三種.這些節(jié)律的時間周期分別為23天、28天、33.每個節(jié)律周期又分為高潮期、臨界日和低潮期三個階段.以上三個節(jié)律周期的半數(shù)為臨界日,這就是說11.5天、14天、16.5天分別為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律的臨界日.臨界日的前半期為高潮期,后半期為低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置),已知小英的生日是2003320日(每年按365天計算).

1)請寫出小英的體力、情緒和智力節(jié)律曲線的函數(shù);

2)試判斷小英在2019422日三種節(jié)律各處于什么階段,當日小英是否適合參加某項體育競技比賽?

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【題目】某鮮奶店每天以每瓶3元的價格從牧場購進若干瓶鮮牛奶,然后以每瓶7元的價格出售.如果當天賣不完,剩下的鮮牛奶作垃圾處理.

(1)若鮮奶店一天購進30瓶鮮牛奶,求當天的利潤(單位:元)關(guān)于當天需求量(單位:瓶,)的函數(shù)解析式;

(2)鮮奶店記錄了100天鮮牛奶的日需求量(單位:瓶),繪制出如下的柱形圖(例如:日需求量為25瓶時,頻數(shù)為5):

100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率

(。┤粼擋r奶店一天購進30瓶鮮奶,表示當天的利潤(單位:元),求的分布列及數(shù)學期望;

(ⅱ)若該鮮奶店計劃一天購進29瓶或30瓶鮮牛奶,你認為應購進29瓶還是30瓶?請說明理由

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【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水情況進行調(diào)查,通過抽樣,獲得某年100為居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求直方圖的的值;

(2)設該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由.

(3)估計居民月用水量的中位數(shù).

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【題目】某連鎖經(jīng)營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額如下表:

商店名稱

A

B

C

D

E

銷售額x/千萬元

3

5

6

7

9

利潤額y/百萬元

2

3

3

4

5

1)畫出散點圖,觀察散點圖,說明兩個變量是否線性相關(guān);

2)用最小二乘法計算利潤額y對銷售額x的線性回歸方程;

3)當銷售額為4千萬元時,估計利潤額的大小.

(參考公式:

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【題目】為了調(diào)查觀眾對某熱播電視劇的喜愛程度,某電視臺在甲、乙兩地各隨機抽取了8名觀眾作問卷調(diào)查,得分統(tǒng)計結(jié)果如圖所示:

1)計算甲、乙兩地被抽取的觀眾問卷的平均得分;

(2)計算甲、乙兩地被抽取的觀眾問卷得分的方差;

(3)若從甲地被抽取的8名觀眾中再邀請2名進行深入調(diào)研,求這2名觀眾中恰有1人的問卷調(diào)查成績在90分以上的概率.

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