已知實(shí)數(shù)a同時滿足下列兩個條件:
①函數(shù)f(x)=lg(x2-2ax+a2-a+1)的定義域?yàn)镽;
②對任意的實(shí)數(shù)x,不等式2x+|2x-3a|>1恒成立.
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)在①的條件下,求關(guān)于x的不等式loga(-2x2+3x)>0的解集.
分析:(1)先分別求出滿足條件①的a的取值范圍和滿足條件②的a的取值范圍,然后取這兩個取值范圍的公共部分就是實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)在①的條件下,不等式loga(-2x2+3x)>0?
-2x2+3x>0
-2x2+3x<1
,解這個不等式組可得答案.
解答:解:(1)求滿足條件①的a的取值范圍,
函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽?x取任意實(shí)數(shù)時,
x2-2ax+a2-a+1>0恒成立?△<0,
即△=(-2a)2-4(a2-a+1)<0
解得:a<1.
求滿足條件②的a的取值范圍
設(shè)g(x)=2x+|2x-3a|=
4x-3a,x≥
3
2
a
3a,x<
3
2
a

x≥
3a
2
可得,
4x≥6a,得4x-3a≥3a.
說明:當(dāng)x≥
3a
2
時,g(x)≥3a

又當(dāng)x<
3a
2
時g(x)=3a

∴對任意的實(shí)數(shù)x,恒有g(shù)(x)≥3a
要使得x取任意實(shí)數(shù)時,不等式2x+|2x-3a|>1恒成立,
須且只須3a>1,解得a>
1
3

由①②可得,同時滿足條件(i)、(ii)的實(shí)數(shù)a的取值范圍為:
1
3
<a<1

(2)∵
1
3
<a<1
,∴不等式loga(-2x2+3x)>0?
-2x2+3x>0
-2x2+3x<1
?
2x2-3x<0
2x2-3x+1>0
?
0<x<
3
2
x<
1
2
或x>1
,∴0<x<
1
2
或1<x<
3
2
.∴不等式loga(-2x2+3x)>0的解集是:{x|0<x<
1
2
或1<x<
3
2
}
點(diǎn)評:本題比較難,解題時要注意等價轉(zhuǎn)化,從而降低解題難度.
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在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù);

②在的定義域內(nèi)存在區(qū)間,使得上的值域是

(1)判斷函數(shù)是否屬于集合?并說明理由.若是,則請求出區(qū)間;

(2)若函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

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②在的定義域內(nèi)存在區(qū)間,使得上的值域是

(1)判斷函數(shù)是否屬于集合?并說明理由.若是,則請求出區(qū)間;

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