【題目】已知雙曲線的右頂點為, 以為圓心的圓與雙曲線的某一條漸近線交于兩點.若,且(其中為原點),則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為x,A(a,0),P(m,),(m>0),由向量共線的坐標(biāo)表示,可得Q的坐標(biāo),求得弦長|PQ|,運用中點坐標(biāo)公式,可得PQ的中點坐標(biāo),由兩直線垂直的條件:斜率之積為﹣1,可得m,r,運用圓的弦長公式計算即可得到a,b的關(guān)系,再由離心率公式計算即可得到所求值.
解:設(shè)雙曲線的一條漸近線方程
為yx,A(a,0),
P(m,),(m>0),
由3,可得Q(3m,),
圓的半徑為r=|PQ|2m,
PQ的中點為H(2m,),
由AH⊥PQ,可得,
解得m,r.
A到漸近線的距離為d,
則|PQ|=2r,
即為dr,即有.
可得,
e.
另解:可得△PAQ為等邊三角形,
設(shè)OP=x,可得
設(shè)M為PQ的中點,可得PM=x,AMx,
tan∠MOA,
則e.
故選:C.
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【題目】如圖,五面體A﹣BCC1B1中,AB1=4.底面ABC 是正三角形,AB=2.四邊形BCC1B1是矩形,二面角A﹣BC﹣C1為直二面角.
(1)D在AC上運動,當(dāng)D在何處時,有AB1//平面BDC1,并且說明理由;
(2)當(dāng)AB1//平面BDC1時,求二面角C﹣BC1﹣D余弦值.
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【題目】用表示自然數(shù)n的所有因數(shù)中最大的那個奇數(shù),例如:9的因數(shù)有1,3,9,,10的因數(shù)有1,2,5,10,,那么______.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),點的極坐標(biāo)為,設(shè)直線與曲線相交于兩點.
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)求的值.
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【題目】如圖所示,在底面是菱形的四棱錐中,,點E在PD上,且.
(1)證明:平面ABCD;
(2)求二面角的大;
(3)棱PC上是否存在一點F,使平面AEC?證明你的結(jié)論.
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【題目】已知橢圓的離心率為,兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成的三角形面積為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)與圓O:相切的直線l交橢圓C于A,B兩點(O為坐標(biāo)原點),求△AOB面積的最大值。
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