已知角A、B、C是△ABC的內(nèi)角，a，b，c分別是其對邊長，且A=
π
3
．
（1）若a=2．cosB=
3
3
，求b的長；
（2）設(shè)∠A的對邊a=1，求△ABC面積的最大值．
分析：（1）由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，再由a，sinA的值，利用正弦定理即可求出b的值；
（2）由cosA，a的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，并利用基本不等式求出bc的最大值，再由sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．
解答：解：（1）在△ABC中，A=
π
3
，a=2，cosB=
3
3
，
∴sinB=
1-cos2B
=
1-
1
3
=
6
3
，
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
，得：b=
asinB
sinA
=
2×
6
3
3
2
=
4
2
3
；
（2）當(dāng)∠A=
π
3
，a=1時(shí)，cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
b2+c2-1
2bc
=
1
2
，
即b2+c2-1=bc，
又b2+c2≥2bc，
∴1=b2+c2-bc≥bc，即bc≤1，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號成立，
∴S△ABC=
1
2
bcsinA≤
1
2
×1×
3
2
=
3
4
，
則△ABC面積的最大為
3
4
．
點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知角A，B，C是△ABC的內(nèi)角，向量
m
=（1，
3
），
n
=（sin（π-A）），sin（A-
π
2
）），
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）求函數(shù)y=2sin2B+cos（
π
3
-2B）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知角A、B、C是△ABC的內(nèi)角，a，b，c分別是其對邊長，向量
m
=(2
3
sin
A
2
，cos2
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，-1)，
m
⊥
n
．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，cosB=
3
3
，求b的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知角A、B、C是△ABC 的內(nèi)角，a，b，c 分別是其對邊長，向量
m
=(2
3
sin
A
2
，cos2
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，-2)，
m
⊥
n
，且a=2，cosB=
3
3
．則b=
4
2
3
4
2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知角A，B，C是△ABC的內(nèi)角，a，b，c分別是其對邊長，向量
m
=(2
3
sin
A
2
，cos2
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，-2)，
m
⊥
n
．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，cos B=
3
3
，求b的長．

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