【題目】已知橢圓的離心率為,與軸交于點(diǎn),,過軸上一點(diǎn)引軸的垂線,交橢圓于點(diǎn),,當(dāng)與橢圓右焦點(diǎn)重合時,.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與直線交于點(diǎn),是否存在定點(diǎn)和,使為定值.若存在,求、點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)(2)存在,為,.
【解析】
(1)是橢圓的通徑,由此已知條件可表示為的兩個等式,結(jié)合可求得,得橢圓方程;
(2)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,,,不妨設(shè),.在直線可得的關(guān)系,同理由在直線又得一關(guān)系式,消去可得點(diǎn)軌跡方程,軌跡是雙曲線,由雙曲線定義可作答.
(1)由題知:,解得,
故橢圓的方程為.
(2)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,,,
不妨設(shè),.
則,,三點(diǎn)共線,,①
同理:,②
得:,
又在橢圓上,,
代入整理得:.
即點(diǎn)的軌跡為雙曲線,
取、為該雙曲線的左、右焦點(diǎn).
即,.
此時為定值,故為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中作出的圖象,并寫出不等式的解集.
(2)設(shè)函數(shù),,若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系.xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為( 為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知曲線C2的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn),點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn),且A,B均異于原點(diǎn)O,且|AB|=4,求α的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),在以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),求△AOB的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標(biāo)分別為x, y, z, 用綜合指標(biāo)S =" x" + y + z評價該產(chǎn)品的等級. 若S≤4, 則該產(chǎn)品為一等品. 現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中, 隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本, 其質(zhì)量指標(biāo)列表如下:
產(chǎn)品編號 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 |
質(zhì)量指標(biāo)(x, y, z) | (1,1,2) | (2,1,1) | (2,2,2) | (1,1,1) | (1,2,1) |
產(chǎn)品編號 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
質(zhì)量指標(biāo)(x, y, z) | (1,2,2) | (2,1,1) | (2,2,1) | (1,1,1) | (2,1,2) |
(Ⅰ) 利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率;
(Ⅱ) 在該樣品的一等品中, 隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品,
(1) 用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果;
(2) 設(shè)事件B為 “在取出的2件產(chǎn)品中, 每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”, 求事件B發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題,大概意思如下:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水,天池盆盆口直徑為2尺8寸,盆底直徑為1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中積水深9寸,則平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②1尺等于10寸;③臺體的體積)( )
A.3寸B.4寸C.5寸D.6寸
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】南北朝時代的偉大數(shù)學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn),他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.其含義是:夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截,如果截得的兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等,如圖,夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為,被平行于這兩個平面的任意平面截得的兩個截面的面積分別為,則“總相等”是“相等”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣a(x2+x+1).
(1)當(dāng)a=1時,證明:f(x)+x2≥0;
(2)當(dāng)a時,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)若函數(shù)f(x)有三個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,拋物線與圓的相交弦長為4.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),為拋物線上兩點(diǎn),,若的面積為,且直線的斜率存在,求直線的方程.
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