Question

設(shè)偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)，且f（-3）=0，則不等式

f(x)+f(-x)

x-3

＜0的解集為

{x|x＞3或-3＜x＜3}；

．

Answer 1

分析：分析題意偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)，說明函數(shù)f（x）關(guān)于y軸對稱，且有f（-3）=f（3）=0，可以大致刻畫出函數(shù)函數(shù)f（x）的草圖，從而判斷出f（x）+f（x）與0的關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)進行求解；

解答：解：∵f（x）偶函數(shù)，f（x）=f（-x）且f（-3）=0，
∴f（-3）=f（3）=0，
∵f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)，且f（-3）=0，
∴當(dāng)x＞-3時，f（x）＞0，當(dāng)x＜-3時，f（x）＜0，
又∵f（x）偶函數(shù)，
∴f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，且f（3）=0，
∴當(dāng)x＞3時，f（x）＜0，當(dāng)0＜x＜3時，f（x）＞0，
∴當(dāng)-3＜x＜3時，f（x）+f（-x）＞0，
當(dāng)x≥3或x≤-3時，f（x）+f（-x）≤0，
∵不等式

f(x)+f(-x)

x-3

＜0，
∴若x-3＞0，即x＞3，
則要求f（x）+f（-x）＜0，∴x＞3；
若x-3＜0，即x＜3，則要求f（x）+f（-x）＞0，
∴-3＜x＜3
綜上x＞3或-3＜x＜3，
故答案為：{x|x＞3或-3＜x＜3}；

點評：此題主要考查偶函數(shù)的性質(zhì)，f（x）=f（-x），結(jié)合函數(shù)的增減性，來判斷f（x）與0的關(guān)系，再把抽象的函數(shù)與不等式結(jié)合起來求不等式的解集，看似考查不等式求解，但又不是具體的不等式，是一道不錯的題．