(2012•江西模擬)已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+mx,當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值.
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)已知結(jié)論:若函數(shù)f(x)=ln(x+1)+mx在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在,且a>-1,則存在x0∈(a,b),使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
.試用這個(gè)結(jié)論證明:若-1<x1<x2,函數(shù)g(x)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
(x-x1)+f(x1)
,則對(duì)任意x∈(x1,x2),都有f(x)>g(x);
(3)已知正數(shù)λ1,λ2,…,λn,滿足λ12+…+λn=1,求證:當(dāng)n≥2,n∈N時(shí),對(duì)任意大于-1,且互不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn,都有f(λ1x12x2+…+λnxn)>λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn).
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),利用當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值,即可求得實(shí)數(shù)m的值;
(2)令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-
f(x1)-f(x2)
x1-x2
(x-x1)-f(x1)
,則h′(x)=f′(x)-
f(x1)-f(x2)
x1-x2
,根據(jù)函數(shù)f(x)在x∈(x1,x2)上可導(dǎo),可得存在x0∈(x1,x2),使得f′(x0)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
,從而h′(x)=f′(x)-f′(x0)=
1
x+1
-
1
x0+1
=
x0-x
(x+1)(x0+1)
,進(jìn)而可得h(x)>0;
(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明,先證明當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立;再證明假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)結(jié)論成立,利用歸納假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.
解答:(1)解:求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=
1
x+1
+m

∵當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值
∴f'(0)=0,得m=-1,此時(shí)f′(x)=-
x
x+1

當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.
∴函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值,故m=-1.…(3分)
(2)證明:令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-
f(x1)-f(x2)
x1-x2
(x-x1)-f(x1)
,…(4分)
h′(x)=f′(x)-
f(x1)-f(x2)
x1-x2

∵函數(shù)f(x)在x∈(x1,x2)上可導(dǎo),
∴存在x0∈(x1,x2),使得f′(x0)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2

f′(x)=
1
x+1
-1
,
h′(x)=f′(x)-f′(x0)=
1
x+1
-
1
x0+1
=
x0-x
(x+1)(x0+1)

∵當(dāng)x∈(x1,x0)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,∴h(x)>h(x1)=0;
∵當(dāng)x∈(x0,x2)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,∴h(x)>h(x2)=0;
故對(duì)任意x∈(x1,x2),都有f(x)>g(x).…(8分)
(3)證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)n=2時(shí),∵λ12=1,且λ1>0,λ2>0,∴λ1x12x2∈(x1,x2),∴由(Ⅱ)得f(x)>g(x),
f(λ1x1+λ2x2)>
f(x1)-f(x2)
x1-x2
(λ1x1+λ2x2-x1)+f(x1)=λ1f(x1)+λ2f(x2)

∴當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立.…(9分)
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)結(jié)論成立,即當(dāng)λ12+…+λk=1時(shí),f(λ1x12x2+…+λkxk)>λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λkf(xk).
當(dāng)n=k+1時(shí),設(shè)正數(shù)λ1,λ2,…,λk+1滿足λ12+…+λk+1=1,
令m=λ12+…+λk,μ1=
λ1
m
μ2=
λ2
m
,…,μk=
λk
m
,則m+λk+1n=1,且μ12+…+μk=1.
f(λ1x12x2+…+λkxkk+1xk+1)=f[m(μ1x1+…+μkxk)+λk+1xk+1]>mf(μ1x1+…+μkxk)+λk+1f(xk+1)>mμ1f(x1)+…+mμkf(xk)+λk+1f(xk+1)=λ1f(x1)+…+λkf(xk)+λk+1f(xk+1)…(13分)
∴當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.
綜上由①②,對(duì)任意n≥2,n∈N,結(jié)論恒成立.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0,利用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明,綜合性強(qiáng).
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(2012•江西模擬)在△ABC中,P是BC邊中點(diǎn),角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,若c
AC
+a
PA
+b
PB
=
0
,則△ABC的形狀為( 。

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1anan+1
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和Tn;
(2)是否存在正整數(shù)m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn,成等比數(shù)列?若存在,求出所有m,n的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2012•江西模擬)已知函數(shù)f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1
,x∈R,將函數(shù)f(x)向左平移
π
6
個(gè)單位后得函數(shù)g(x),設(shè)△ABC三個(gè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.
(Ⅰ)若c=
7
,f(C)=0,sinB=3sinA,求a、b的值;
(Ⅱ)若g(B)=0且
m
=(cosA,cosB)
,
n
=(1,sinA-cosAtanB)
,求
m
n
的取值范圍.

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(2012•江西模擬)過(guò)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸進(jìn)線的交點(diǎn)分別為B、C.若
AB
=
1
2
BC
,則雙曲線的離心率是
5
5

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