對任意實(shí)數(shù)列,定義它的第項(xiàng)為,假設(shè)是首項(xiàng)是公比為的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(2)若,.
①求實(shí)數(shù)列的通項(xiàng);
②證明:.

(1);(2)①;②詳見解析.

解析試題分析:本題以新定義的模式考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和以及不等式的放縮法.(1)由是首項(xiàng)是公比為的等比數(shù)列,故實(shí)數(shù)列確定,即,再結(jié)合的定義,得,然后求和即可(需分類討論);(2)由,.,可確定,利用累加法可求;和式可看作數(shù)列的前n項(xiàng)和,故先求其通項(xiàng)公式,得,因前n項(xiàng)和不易直接求出,故可考慮放縮法,首先看不等式右邊,可想到證明每項(xiàng)都小于,由,進(jìn)而可證明右面不等式,再考慮不等式左邊,,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b5/f/1u3tz3.png" style="vertical-align:middle;" />,故,進(jìn)而求和可證明.
試題解析:(1)令這里
是公比為的等比數(shù)列.

當(dāng)時,,,.   2分
當(dāng)時,是公比為,首項(xiàng)為的等比數(shù)列;.
.   4分
綜上.   6分
(2)①由題設(shè),,
疊加可得).   8分

.   10分

,
,
.   12分

.   13分
考點(diǎn):1、等比數(shù)列通項(xiàng)公式;2、等比數(shù)列前n項(xiàng)和;3、累加法.

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求;
(3)若,求的前n項(xiàng)和.

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求數(shù)列項(xiàng)和.

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等比數(shù)列{an}中,a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且a1,a2,a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足:bn=an+(-1)nlnan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn·

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已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1a2=2,a3a4=32,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn=n2,(n∈N*),求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.

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已知數(shù)列的前項(xiàng)和為滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為
(1)求的表達(dá)式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和

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已知數(shù)列{an}成等比數(shù)列,且an>0.
(1)若a2a1=8,a3m.①當(dāng)m=48時,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;②若數(shù)列{an}是唯一的,求m的值;
(2)若a2ka2k-1+…+ak+1-(akak-1+…+a1)=8,k∈N*,求a2k+1a2k+2+…+a3k的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足:為常數(shù),
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),若數(shù)列為等比數(shù)列,求的值。

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