Question

已知點(diǎn)是F拋物線C與橢圓C的公共焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)拋物線上一點(diǎn)P，作拋物線的切線l，切點(diǎn)P在第一象限，如圖，設(shè)切線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，記直線OP，F(xiàn)A，F(xiàn)B的斜率分別為k，k₁，k₂（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若k，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為，建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（2）設(shè)出切線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率公式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1），則有
∴a=2，b=
∴橢圓方程為；
（2）設(shè)P（2t，t²），由，得切線的斜率為t，從而切線l的方程為y=tx-t²，
直線l與橢圓方程聯(lián)立，得（3t²+4）x²-6t³x+3t⁴-12=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=
∴k₁+k₂=+=
∵=
∴
∵t＞0，∴5t⁴+3t²-8=0
∴t²=1
∴t=1
∴P的坐標(biāo)為（2，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．