已知四棱錐P­ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分別為棱BC，AD的中點．
 
(1)求證：DE∥平面PFB；
(2)已知二面角P­BF­C的余弦值為，求四棱錐P­ABCD的體積．
（1）見解析（2）
(1)因為E，F分別為正方形ABCD的兩邊BC，AD的中點，所以BE綉FD，即BEDF為平行四邊形，
∴ED∥FB，∵FB?平面PFB，且ED?平面PFB，
∴DE∥平面PFB.
(2)以D為原點，直線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．如圖，設(shè)PD＝a，

可得如下點的坐標P(0,0，a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)．
則有＝(1,0，－a)，＝(1,2,0)．
因為PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為m＝(0,0,1)．
設(shè)平面PFB的法向量為n＝(x，y，z)，
則可得即.，
令x＝1, 得z＝，y＝－，
所以n＝.
由已知二面角P-BF-C的余弦值為，
所以得cos〈m，n〉＝＝，
∴a＝2，∴VP－ABCD＝×2×2×2＝
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示,矩形ABCD中,AB=a,AD=b,過點D作DE⊥AC于E,交直線AB于F.現(xiàn)將△ACD沿對角線AC折起到△PAC的位置,使二面角PACB的大小為60°.過P作PH⊥EF于H.

(1)求證:PH⊥平面ABC;
(2)若a+b=2,求四面體PABC體積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在直三棱柱中，分別是的中點.

（1）求證：平面;
（2）求多面體的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三角形中，，是邊長為的正方形，平面⊥底面，若、分別是、的中點．

（1）求證：∥底面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求幾何體的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，且△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，，，則該三棱錐外接球的表面積為(　　)
A．2πB．6πC．4πD．24π

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個半徑為6 cm，深2 cm的空穴，則該球表面積為(      )cm².
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在正方體中，點在面對角線上運動，給出下列四個命題：

①∥平面；    ②；
③平面⊥平面；④三棱錐的體
積不變.
則其中所有正確的命題的序號是     ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長都為的三棱錐的四個頂點全部在同一個球面上，則該球的表面積為（   ）
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

圓柱底面圓的半徑和圓柱的高都為2，則圓柱側(cè)面展開圖的面積為（   ）
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案