Question

設(shè)函數(shù)定義域為，且.設(shè)點是函數(shù)圖像上的任意一點，過點分別作直線和 軸的垂線，垂足分別為．

（1）寫出的單調(diào)遞減區(qū)間（不必證明）；

（2）問：是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，則說明理由；

（3）設(shè)為坐標原點，求四邊形面積的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)在上是減函數(shù).

（2） 

（3）。

【解析】

試題分析：

思路分析：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象過點，確定a，進一步認識函數(shù)的單調(diào)性。

（2）、設(shè) ，根據(jù)直線的斜率 ，確定的方程。

利用聯(lián)立方程組求得M,N的坐標，計算可得 。

（3）、為求四邊形面積的最小值，根據(jù)（2）將面積用 表示，

，應用均值定理求解。

解：（1）、因為函數(shù)的圖象過點，

所以函數(shù)在上是減函數(shù).

（2）、設(shè) ，直線的斜率 ，

則的方程。

聯(lián)立 ，

 、 

，

 

（2）、（文）設(shè)，直線的斜率為，

則的方程 ，

聯(lián)立 ， ，

3、  ， ，

∴，

，，

∴ ，，

當且僅當時，等號成立，∴ 此時四邊形面積有最小值。

考點：函數(shù)的單調(diào)性，直線與雙曲線的位置關(guān)系，平面向量的坐標運算，均值定理的應用，面積計算。

點評：中檔題，本題綜合性較強，難度較大。以“對號函數(shù)”為背景，綜合考查函數(shù)的單調(diào)性，直線與雙曲線的位置關(guān)系，平面向量的坐標運算，均值定理的應用，面積計算等。