精英家教網(wǎng)把正奇數(shù)數(shù)列{2n-1}中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表:設(shè)aij(i,j∈N*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù).
(Ⅰ)若amn=2005,求m,n的值;
(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f-1(x)=8nx3(x>0),若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為bn,求數(shù)列{f(bn)}的前n項(xiàng)和Sn
分析:(I)三角形數(shù)表中前m行共有1+2+3++m=
m(m+1)
2
個(gè)數(shù),第m行最后一個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)是所給奇數(shù)列中的第
m(m+1)
2
項(xiàng).故第m行最后一個(gè)數(shù)是2•
m(m+1)
2
-1=m2+m-1
.由此入手能夠求出m,n的值;
(II)f-1(x)=8nx3=y(x>0),x=(
1
2
)n
3y
.故f(x)=(
1
2
)n
3x
(x>0)
,第n行最后一個(gè)數(shù)是n2+n-1,且有n個(gè)數(shù),若將n2+n-1看成第n行第一個(gè)數(shù),則第n行各數(shù)成公差為-2的等差數(shù)列,故bn=n(n2+n-1)+
n(n-1)
2
(-2)=n3
.由此入手能夠求出數(shù)列{f(bn)}的前n項(xiàng)和Sn
解答:解:(I)∵三角形數(shù)表中前m行共有1+2+3++m=
m(m+1)
2
個(gè)數(shù),(1分)
∴第m行最后一個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)是所給奇數(shù)列中的第
m(m+1)
2
項(xiàng).
故第m行最后一個(gè)數(shù)是2•
m(m+1)
2
-1=m2
+m-1(2分)
因此,使得amn=2005的m是不等式m2+m-1≥2005的最小正整數(shù)解.
由m2+m-1≥2005得m2+m-2006≥0(3分)
∴m≥
-1+
1+8024
2
-1+
7921
2
=
-1+89
2
=44∴m=45(4分)
于是,第45行第一個(gè)數(shù)是442+44-1+2=1981(5分)
∴n=
2005-1981
2
+1=13(6分)
(II)∵f-1(x)=8nx3=y(x>0),
x=(
1
2
)n
3y
.故f(x)=(
1
2
)n
3x
(x>0)(7分)
∵第n行最后一個(gè)數(shù)是n2+n-1,且有n個(gè)數(shù),若將n2+n-1看成第n行第一個(gè)數(shù),則第n行各數(shù)成公差為-2的等差數(shù)列,
故bn=n(n2+n-1)+
n(n-1)
2
(-2)=n3
(9分)
f(bn)=(
1
2
)n
3n3
=n(
1
2
)n
(10分)
故Sn=
1
2
+2(
1
2
)2+3(
1
2
)3++(n-1)(
1
2
)n-1+n(
1
2
)n

1
2
Sn=(
1
2
)2+2(
1
2
)3+3(
1
2
)4++(n-1)(
1
2
)n+n(
1
2
)n+1
,(11分)
兩式相減得:
1
2
Sn=
1
2
+(
1
2
)2+(
1
2
)3++(
1
2
)n-n(
1
2
)n+1
(12分)
=
1
2
[1-(
1
2
)
n
]
1-
1
2
-n(
1
2
)n+1=1-(
1
2
)n-n(
1
2
)n+1
(13分)
Sn=2-(n+2)(
1
2
)n
(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)仔細(xì)解答.
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把正奇數(shù)數(shù)列{2n-1}中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表:
    1
  3    5
7    9   11


設(shè)amn(m,n∈N*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第m行、從左往右數(shù)第n個(gè)數(shù).
(1)若amn=2011,求m,n的值;
(2)若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為bn,求證
1
b1
+
1
b2
+
1
b3
+…+
1
bn
5
4

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45
45
行的第
16
16
個(gè)數(shù).

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(Ⅰ)若amn=2007,求m,n的值;
(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)f-1(x)=8nx3(x>0)為,若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為bn,求數(shù)列{f(bn)}的前n項(xiàng)和Sn

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