【題目】平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左焦點為,離心率為,過點且垂直于長軸的弦長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點分別是橢圓的左、右頂點,若過點的直線與橢圓相交于不同兩點.
①求證:;
②求面積的最大值.
【答案】(1);(2)(ⅰ)見解析;(ⅱ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)根據(jù)離心率與垂直于長軸的弦長列出方程,求得的值,從而得到橢圓方程;(II)方法一:(i)分直線的斜率是否為0討論,當(dāng)時,設(shè),直線的方程為,聯(lián)立橢圓方程,結(jié)合判別式求得的范圍,從而由使問題得證;(ii)由=結(jié)合(ⅰ)用韋達(dá)定理寫出表達(dá)式,利用基本不等式求出最大值;方法二:(i)由題意知直線的斜率存在,設(shè)其方程為,聯(lián)立橢圓方程,由判別式求得的取值范圍,從而由使問題得證;(ii)由弦長公式求得,用點到直線的距離求得邊上的高線長,從而得到的表達(dá)式,進(jìn)而用換元法求解.
試題解析:解:(1), 又,
所以.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)(i)當(dāng)AB的斜率為0時,顯然,滿足題意
當(dāng)AB的斜率不為0時,設(shè),AB方程為代入橢圓方程
整理得,則,所以
,
,即
(ii)
當(dāng)且僅當(dāng),即.(此時適合△>0的條件)取得等號.
三角形面積的最大值是
方法二(i)由題知,直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為:,
設(shè),聯(lián)立,整理得,
則,所以
,
,即
(ii)
點到直線的距離為,
=
.
令,則,
當(dāng)且僅當(dāng),即(此時適合△>0的條件)時,,即
三角形面積的最大值是
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【題目】已知拋物線E:x2=2py(p>0),直線y=kx+2與E交于A、B兩點,且 =2,其中O為原點.
(1)求拋物線E的方程;
(2)點C坐標(biāo)為(0,﹣2),記直線CA、CB的斜率分別為k1 , k2 , 證明:k12+k22﹣2k2為定值.
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【題目】已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,B是鈍角,且 a=2bsinA.
(1)求B的大小;
(2)若△ABC的面積為 ,且b=7,求a+c的值;
(3)若b=6,求△ABC面積的最大值.
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【題目】2000多年前,古希臘大數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯((Apollonius)發(fā)現(xiàn):平面截圓錐的截口曲線是圓錐曲線.已知圓錐的高為, 為地面直徑,頂角為,那么不過頂點的平面;與夾角時,截口曲線為橢圓;與夾角時,截口曲線為拋物線;與夾角時,截口曲線為雙曲線.如圖,底面內(nèi)的直線,過的平面截圓錐得到的曲線為橢圓,其中與的交點為,可知為長軸.那么當(dāng)在線段上運動時,截口曲線的短軸頂點的軌跡為( )
A. 圓的部分 B. 橢圓的部分 C. 雙曲線的部分 D. 拋物線的部分
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為: ,直線的參數(shù)方程是(為參數(shù), ).
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線與曲線交于兩點,且線段的中點為,求.
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【題目】在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2asinB= b.
(1)求角A的大;
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面積.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(2x+ )﹣ cos(2x+ ).
(1)數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若f(α)= ,α∈(0, ),求cosα的值.
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【題目】已知a,b,c分別是△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊,sin2B=2sinAsinC.
(1)若a=b,求cosB的值;
(2)若B=60°,△ABC的面積為4 ,求b的值.
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