Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若只有一個(gè)零點(diǎn)，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后由點(diǎn)斜式可得所求切線方程．（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而得到函數(shù)的大體圖象，然后根據(jù)函數(shù)的圖象及極值判斷出函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)參數(shù)的取值范圍．

（1）當(dāng)時(shí)，，

所以，

故，

又，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即．

（2）由題意得.

（i）當(dāng)，即時(shí)，

則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以的極小值為，

因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)，且，

所以當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需滿足，

又，則或．

（ii）當(dāng)，即時(shí)，則有，

所以為增函數(shù)．

又，

所以只有一個(gè)零點(diǎn)，且，

所以滿足題意．

（iii）當(dāng)，即時(shí)，

則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以的極小值為，極大值為，

因?yàn)?/span>，，

所以，

又，所以．

綜上可得或．

實(shí)數(shù)的取值范圍為．