已知函數(shù):f(x)=
x-a+1
a-x
(a為常數(shù)).
(1)當(dāng)f(x)的定義域?yàn)閇a+
1
2
,a+1]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域;
(2)試問:是否存在常數(shù)m使得f(x)+f(m-x)+2=0對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立;若有求出m,若沒有請(qǐng)說明理由.
(3)如果一個(gè)函數(shù)的定義域與值域相等,那么稱這個(gè)函數(shù)為“自對(duì)應(yīng)函數(shù)”.若函數(shù)f(x)在[s,t](a<s<t)上為“自對(duì)應(yīng)函數(shù)”時(shí),求實(shí)數(shù)a的范圍.
分析:(1)把給出的函數(shù)式拆項(xiàng)變形,得到f(x)=
-(a-x)+1
a-x
=-1+
1
a-x
,然后直接由函數(shù)的定義域求得函數(shù)的值域;
(2)直接把f(x)=
x-a+1
a-x
代入f(x)+f(m-x)+2=0整理,由f(x)+f(m-x)+2=0對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立得到常數(shù)m的值;
(3)由(1)知函數(shù)f(x)為(a,+∞)上的增函數(shù),根據(jù)“自對(duì)應(yīng)函數(shù)”的定義得到f(s)=s,f(t)=t,則有f(x)=x有兩個(gè)大于a的相異實(shí)根,然后利用方程跟的情況列式求解隨機(jī)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)f(x)=
-(a-x)+1
a-x
=-1+
1
a-x

當(dāng)a+
1
2
≤x≤a+1
時(shí),
-a-1≤-x≤-a-
1
2
,
-2≤
1
a-x
≤-1
,
-1≤a-x≤-
1
2
,
-3≤-1+
1
a-x
≤-2

即f(x)的值域?yàn)閇-3,-2];
(2)假設(shè)存在m使得f(x)+f(m-x)+2=0成立
則f(x)+f(m-x)+2
=-1+
1
a-x
+-1+
1
a-(m-x)
+2

=
2a-m
(a-x)(x-m+a)
=0恒成立,
∴m=2a,
∴存在常數(shù)m=2a滿足題意;
(3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(a,+∞)上為增函數(shù),
又[s,t]⊆(a,+∞),∴f(x)在[s,t]上為增函數(shù),
f(x)的值域?yàn)閇f(s),f(t)],又函數(shù)f(x)在[s,t]上為“自對(duì)應(yīng)函數(shù)”,
[s,t]=[f(s),f(t)]
∴f(s)=s,f(t)=t
∴f(x)=x有兩個(gè)大于a的相異實(shí)根
即:x2+(1-a)x+1-a=0有兩個(gè)大于a的相異實(shí)根
△=(1-a)2-4(1-a)>0
a-1
2
>a
a2+(1-a)a+1-a>0

解得:a<-3.
點(diǎn)評(píng):本題考查了恒成立問題,考查了函數(shù)的值域,訓(xùn)練了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解,是中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x+
1
2
)
為奇函數(shù),設(shè)g(x)=f(x)+1,則g(
1
2011
)+g(
2
2011
)+g(
3
2011
)+g(
4
2011
)+…+g(
2010
2011
)
=( 。
A、1005B、2010
C、2011D、4020

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù),f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A>0,ω>0,0<φ<
π2
)
的最大值為3,f(x)的圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2,在y軸上的截距為2.
(I)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•棗莊二模)已知函數(shù)y=
f(x),x>0
g(x),x<0
是偶函數(shù),f(x)=logax的圖象過點(diǎn)(2,1),則y=g(x)對(duì)應(yīng)的圖象大致是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
f(x)
ex
(x∈R)
滿足f′(x)>f(x),則f(1)與ef(0)的大小關(guān)系為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x+
1
2
)-
1
2
是定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R的奇函數(shù),則f(
1
2011
)+f(
2
2011
)+f(
3
2011
)+…+f(
2010
2011
)
的值為
1005
1005

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