Question

16．已知圓C：（x-1）²+y²=16，F(xiàn)（-1，0），M是圓C上的一個動點，線段MF的垂直平分線與線段MC相交于點P．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）記點P的軌跡為C₁，A、B是直線x=-2上的兩點，滿足AF⊥BF，曲線C₁與過A，B的兩條切線（異于x=-2）交于點Q，求四邊形AQBF面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用中垂線的性質得出|PF|+|PC|=4，于是P點軌跡為橢圓，根據(jù)橢圓定義得出橢圓方程；
（II）設AF的斜率為k，用k表示出A，B的坐標，設過A點的切線斜率為k₁，聯(lián)立方程組得出k₁和k的關系，同理得出過B點的切線方程，再聯(lián)立方程組得出Q點坐標，得出四邊形面積關于k的解析式，利用不等式得出面積的范圍．

解答 解：（Ⅰ）依題意得圓心C（0，1），半徑r=4，
∵線段MF的垂直平分線與線段MC相交于點P，
∴|PF|+|PC|=|PM|+|PC|=CM=4＞|CF|=2．
∴點P的軌跡方程是以C，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓，
即a=2，c=1，則b=2²-1=3，
∴P的軌跡方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）依題意，直線AF斜率存在且不為零，設為y=k（x+1），
令x=-2得A（-2，-k），同理B（-2，$\frac{1}{k}$）．
設過點A的切線為y=k₁（x+2）-k，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
得$（3+4{k_1}^2）{x^2}+8{k_1}（2{k_1}$$-k）x+4{（2{k_1}-k）^2}-12=0$x+4[（2k₁-k）²-3]=0．
由$△=64{k_1}^2{（2{k_1}-k）^2}-16（3+4{k_1}^2）$$[{{{（2{k_1}-k）}^2}-3}]=0$，解得${k_1}=\frac{{{k^2}-3}}{4k}$，
同理k₂=$\frac{（-\frac{1}{k}）^{2}-3}{4•（-\frac{1}{k}）}$=$\frac{{3{k^2}-1}}{4k}$．
聯(lián)立方程組：$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{{{k^2}-3}}{4k}（x+2）-k}\\{y=\frac{{3{k^2}-1}}{4k}（x+2）+\frac{1}{k}}\end{array}}\right.$，解得x=-4．
∴${S_{AQBF}}=\frac{1}{2}|{AB}||{{x_F}-{x_Q}}|$=$\frac{3}{2}|{k+\frac{1}{k}}|≥3$，當且僅當k=±1時等號成立，
∴四邊形AQBF面積的取值范圍是[3，+∞）．

點評 本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．