【題目】已知函數(shù),其中,設(shè)為導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)設(shè),若恒成立,求的范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為,函數(shù)的極小值點(diǎn)為,當(dāng)時(shí),求證:.
【答案】(1)(2)見(jiàn)解析
【解析】
(I)計(jì)算的導(dǎo)函數(shù),計(jì)算最小值,結(jié)合恒不等式,建立不等關(guān)系,計(jì)算a的范圍,即可。(II)構(gòu)造函數(shù),判定極小值點(diǎn),進(jìn)而得到的單調(diào)性,得到
,結(jié)合單調(diào)性,即可。
(Ⅰ)由題設(shè)知,,
,.
當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
故在處取到最小值,且.
由于恒成立,所以.
(Ⅱ)設(shè),則.
設(shè),則,
故在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?/span>,所以,,
故存在,使得,
則在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
故是的極小值點(diǎn),因此.
由(Ⅰ)可知,當(dāng)時(shí),.
因此 ,即單調(diào)遞增.
由于,即,即,
所以 .
又由(Ⅰ)可知,在單調(diào)遞增,因此.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓:的離心率為,橢圓上一點(diǎn)到左右兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和是4.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知過(guò)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),且兩點(diǎn)與左右頂點(diǎn)不重合,若,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓()經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),橢圓上一點(diǎn)滿足,求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)且與軸垂直的直線被橢圓和圓截得的弦長(zhǎng)分別為2和.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知?jiǎng)又本與拋物線:相切(切點(diǎn)異于原點(diǎn)),且與橢圓相交于,兩點(diǎn),問(wèn):橢圓上是否存在點(diǎn),使得,若存在求出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法中正確的是( )
A.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量有一組觀測(cè)數(shù)據(jù),其線性回歸方程是,且,則實(shí)數(shù)的值是
B.正態(tài)分布在區(qū)間和上取值的概率相等
C.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1
D.若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)都是2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù):
①;
②;
③;
④;
⑤;
(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù);
(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)對(duì)任意的,,恒有,求正數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[2019·清遠(yuǎn)期末]一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān),現(xiàn)收集了4組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表中,根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如下:
溫度 | 20 | 25 | 30 | 35 |
產(chǎn)卵數(shù)/個(gè) | 5 | 20 | 100 | 325 |
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)更適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程(數(shù)字保留2位小數(shù));
(3)要使得產(chǎn)卵數(shù)不超過(guò)50,則溫度控制在多少以下?(最后結(jié)果保留到整數(shù))
參考數(shù)據(jù):,,,,,,,,,,
5 | 20 | 100 | 325 | |
1.61 | 3 | 4.61 | 5.78 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的菱形,,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),,點(diǎn)在平面的射影為,為棱上一點(diǎn),
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若為棱的中點(diǎn),,求直線與平面所成角的正弦值。
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