Question

【題目】如圖1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，點E在線段AC上，CE=4．如圖2所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB，設點F是AB的中點．
（1）求證：DE⊥平面BCD；
（2）若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點，求三棱錐B﹣DEG的體積．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AC的中點P，連接DP，因為在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，

所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP= ，∠DCP=30°，∠PDC=60°，

又點E在線段AC上，CE=4．所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，

∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；

∵將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC

∴DE⊥平面BCD

（2）解：若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點，G為EC的中點，此時AE=EG=GC=2，

因為在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，

所以BD= ，DC= ，

所以B到DC的距離h= = = ，

因為平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，

所以B到DC的距離h就是三棱錐B﹣DEG的高．

三棱錐B﹣DEG的體積：V= = = =

【解析】（1）取AC的中點P，連接DP，證明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面與平面垂直的性質證明DE⊥平面BCD；（2）說明G為EC的中點，求出B到DC的距離h，說明到DC的距離h就是三棱錐B﹣DEG的高．利用 ， 即可求三棱錐B﹣DEG的體積．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能得出正確答案．