如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1CC1⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC的中點，E為BC1的中點
（1）求證：OE∥平面A1AB；
（2）求二面角A-A1B-C1的正弦值．
證明：（1）∵A1A=A1C，且O為AC的中點，
∴A1O⊥AC．
又側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，其交線為AC，且A1O∈平面AA1C1C，
所以A1O⊥底面ABC．…..（2分）
以O(shè)為坐標原點，OB，OC，OA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
由已知可得：O（0，0，0），A（0，-1，0），A1(0，0，
3
)，C（0，1，0），C1(0，2，
3
)，B（1，0，0），E(
1
2
，1，
3
2
)．則有：
A1C
=(0，1，-
3
)，
AA1
=(0，1，
3
)，
AB
=(1，1，0)．
設(shè)平面AA1B的一個法向量為
n
=(x，y，z)，…..（4分）
則有{
n
•
AA1
=0
n
•
AB
=0
，即{
y+
3
x=0
x+y=0
，
令y=1，得x=-1，z=-
3
3
，
所以
n
=(-1，1，-
3
3
)．
又知
OE
=(
1
2
，1，
3
2
)，…..（6分）
∴
n
•
OE
=0
∴OE∥平面A1AB．…..（7分）
（2）．設(shè)平面A1BC1的一個法向量為
m
=(x，y，z)，
又知
A1C1
=(0，2，0)，
A1B
=(1，0，-
3
)
由{
m
•
A1B
=0
m
•
A1C1
=0
得{
2y=0
x-
3
z=0

可得
m
=(
3
，0，1)…..（9分）
則cos?
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
||
n
|
=-
2
7
7
，…..（11分）
所以二面角A-A1B-C1的正弦值為
21
7
．…..（12分）
練習冊系列答案
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求證：平面．
 

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A．y-z=0B．2y-z-1=0C．2y-z-2=0D．z-1=0

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底面ABCD為矩形的四棱錐P-ABCD中，AB=
3
，BC=1，PA=2，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E為PD的中點
（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥面PAC，并求出點N到AB和AP的距離．

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如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BC⊥平面A1ABB1，AB=BC=2，AA1=2
2
．
（1）求證：BC⊥平面A1ABB1；
（2）求直線A1B與平面A1AC成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，則當△AEF的面積最大時，tanθ的值為（　�。�
A．2B．
1
2
C．
2
D．
2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，點D在AB上．
（Ⅰ）求證：AC⊥B1C；
（Ⅱ）若D是AB中點，求證：AC1∥平面B1CD；
（Ⅲ）當
BD
AB
=
1
3
時，求二面角B-CD-B1的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是梯形，AD∥BC且∠ADC=60°，BC=2AD=4．
（1）求證：DC⊥PA；
（2）在PB上是否存在一點M（不包含端點P，B）使得二面角C-AM-B為直二面角，若存在求出PM的長，若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PEC；
（2）求二面角P-EC-D的大�。�

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