Question

已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，數(shù)列前項(xiàng)的積記為.
（1）求使得取得最大值時(shí)的值；
（2）證明中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列，總可以使其成等差數(shù)列，如果所有這些等差數(shù)列的公差按從小到大的順序依次設(shè)為，證明:數(shù)列為等比數(shù)列.
（參考數(shù)據(jù)）

Answer 1

（1）n=12
（2）根據(jù)題意，由于對進(jìn)行調(diào)整，隨n增大而減小，奇數(shù)項(xiàng)均正，偶數(shù)項(xiàng)均負(fù)，那么對于n分為奇數(shù)和偶數(shù)來討論得到證明。

試題分析：.解：
（1），，，，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
，又
的最大值是中的較大者.，
，因此當(dāng)n=12時(shí)，最大        .6分
（2）對進(jìn)行調(diào)整，隨n增大而減小，奇數(shù)項(xiàng)均正，偶數(shù)項(xiàng)均負(fù).
①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，調(diào)整為.則，，成等差數(shù)列；
②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，調(diào)整為；則，，成等差數(shù)列；
綜上可知，中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列，總可以使其成等差數(shù)列.
①n是奇數(shù)時(shí)，公差；
②n是偶數(shù)時(shí)，公差.
無論n是奇數(shù)還是偶數(shù)，都有，則，
因此，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，     12分
點(diǎn)評：主要是考查了數(shù)列的概念的運(yùn)用，以及分類討論思想的運(yùn)用，屬于難度題。