Question

已知數(shù)列{a_n}，{c_n}滿足條件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，．
（1）若b_n=a_n+1，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，求數(shù)列{（2n+3）T_n•b_n}前n項(xiàng)和Q_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）：由已知可得a_n+1+1=2（a_n+1），結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（2）由=，考慮利用裂項(xiàng)求和可求T_n，然后代入（2n+3）T_n•b_n=n•2ⁿ，再利用錯(cuò)位相減求和即可求解
解答：解：（1）：∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∴且a₁+1=2
∵b_n=a_n+1，
∴且b₁=2
∴{b_n}是以2為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列
∴
（2）∵=
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=
==
∴（2n+3）T_n•b_n=n•2ⁿ
∴
2Q_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-=-n•2ⁿ⁺¹=（2-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式a_n+1=pa_n+q構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和，屬于數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用．