Question

若雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右支上存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離與它到右焦點(diǎn)的距離相等，那么該雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A、(1，

  3

  +1]
• B、(1，

  2

  +1]
• C、(1，

  3

  +1)
• D、(1，

  2

  +1)

Answer 1

分析：設(shè)左右兩個焦點(diǎn)分別為F、F′，點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為d，則點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為d，由第二定義可得

PF

d

=e，
再由第一定義可得ed-d=2a，由d=

2a2

c-a

≥a+

a2

c

，及

c

a

＞1，求出離心率的取值范圍．

解答：解：設(shè)左右兩個焦點(diǎn)分別為F、F′，點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為d，則由題意可得點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離也為d．
由第二定義可得

PF

d

=e，即 PF=ed．
再由第一定義可得ed-d=2a，∴d=

2a2

c-a

≥a+

a2

c

，
∴c² -a²-2ac≤0，解得 1-

2

≤

c

a

≤

2

+ 1．
再由

c

a

＞1 可得，1＜

c

a

≤

2

+ 1，
故選B．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，得到

2a2

c-a

≥a+

a2

c

，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．