Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，（n∈N^* ）．
（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列？若不是，請說明理由；若是，試求出通項a_n；．
（2）如果a=1時，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，試求出S_n．

Answer 1

解：（1）=，
=2•．令bn=，，則bn+1=2bn，且．
∴當a=-2時，b1=0，則bn=0，數(shù)列不是等比數(shù)列．
當a≠-2時，b1≠0，則數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為2．
bn=b1•2^n-1，即．解得．
（2）由（1）知，當a=1時，a_n=（2n+1）•2^n-1-2
Sn=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）•2 ^n-1-2n．
由錯位相減法，求得Tn=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）•2 ^n-1 =（2n-1）•2ⁿ+1，
∴Sn=Tn-2n=（2n-1）•（2^n_-1），
分析：（1）先將轉化變形構造出數(shù)列，再去研究其性質．
（2）由（1）可求出a_n=（2n+1）•2^n-1-2，利用分組、錯位相消法求和即可．
點評：本題考查等比數(shù)列的定義及判定、分組求和、錯位相消法求和．考查變形轉化、計算、分類討論的思想方法和能力．