Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可；

（2）令（），問題等價(jià)于.求導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性，求最值即可.

（1）定義域，，

因?yàn)?/span>是單調(diào)遞增函數(shù)，故對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立.

記，則，

由，令得，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以，

從而.

（2）令（），問題等價(jià)于.

由，，

∴函數(shù)在上是增函數(shù)，

容易證明時(shí)，，，

則，

由得，（舍負(fù)）

從而取，；

另外，容易證明，取正數(shù)x滿足

從而取c滿足，有.

（注：這里也可以這樣處理：當(dāng)時(shí)，，，

故；

當(dāng)時(shí)，，，）

所以存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

從而在區(qū)間上遞減，在上遞增，

，

由，得：，

∴，

∴，即.

設(shè)，則為增函數(shù)，

，，則有唯一零點(diǎn)，設(shè)為t，

則，則，即，

令，則單調(diào)遞增，且，

則，即，

∵在為增函數(shù)，

則當(dāng)時(shí)，a有最大值，，

∴，即a的取值范圍是.