(13分)在中學(xué)階段,對許多特定集合(如實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集以及平面向量集等)的學(xué)習(xí)常常是以定義運(yùn)算(如四則運(yùn)算)和研究運(yùn)算律為主要內(nèi)容.現(xiàn)設(shè)集合由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成,在上定義一個運(yùn)算,記為,對于中的任意兩個元素,,規(guī)定:.
(1)計算:;
(2)請用數(shù)學(xué)符號語言表述運(yùn)算滿足交換律,并給出證明;
(3)若“中的元素”是“對,都有成立”的充要條件,試求出元素.
(1) . (2)交換律:,證明見解析;(3) .
【解析】這是一道新運(yùn)算類的題目,其特點(diǎn)一般是“新”而不“難”,處理的方法一般為:根據(jù)新運(yùn)算的定義,將已知中的數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算,易得最終結(jié)果.
(1)由已知α⊙β=(ad+bc,bd-ac),將:(2,3)⊙(-1,4)中參與運(yùn)算的兩個元素代入易得答案.
(2)根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的數(shù)、向量等的交換率,類比給出⊙運(yùn)算的交換率,結(jié)合⊙的定義,不難證明.
(3)根據(jù)充要條件的定義,結(jié)合⊙的定義,不難得到一個關(guān)于I=(x,y)的方程組,解方程組,即可得到答案.
解:(1) . ………3分
(2)交換律:, ………4分
證明如下:設(shè),,則,
==.
∴. ……… 8分
(3)設(shè)中的元素,對,都有成立,
由(2)知只需,即
①若,顯然有成立;
②若,則,解得,
∴當(dāng)對,都有成立時,得,
易驗(yàn)證當(dāng)時,有對,都有成立………13分
∴.
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