【題目】已知函數(shù)f(x)=xcosx﹣sinx,x∈[0, ]
(1)求證:f(x)≤0;
(2)若a< <b對x∈(0, )上恒成立,求a的最大值與b的最小值.

【答案】
(1)解:由f(x)=xcosx﹣sinx得

f′(x)=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx,

此在區(qū)間∈(0, )上f′(x)=﹣xsinx<0,

所以f(x)在區(qū)間∈[0, ]上單調(diào)遞減,

從而f(x)≤f(0)=0


(2)解:當x>0時,“ >a”等價于“sinx﹣ax>0”,“ <b”等價于“sinx﹣bx<0”

令g(x)=sinx﹣cx,則g′(x)=cosx﹣c,

當c≤0時,g(x)>0對x∈(0, )上恒成立,

當c≥1時,因為對任意x∈(0, ),g′(x)=cosx﹣c<0,

所以g(x)在區(qū)間[0, ]上單調(diào)遞減,

從而,g(x)<g(0)=0對任意x∈(0, )恒成立,

當0<c<1時,存在唯一的x0∈(0, )使得g′(x0)=cosx0﹣c=0,

g(x)與g′(x)在區(qū)間(0, )上的情況如下:

x

(0,x0

x0

(x0,

g′(x)

+

g(x)

因為g(x)在區(qū)間(0,x0)上是增函數(shù),

所以g(x0)>g(0)=0進一步g(x)>0對任意x∈(0, )恒成立,

當且僅當

綜上所述當且僅當 時,g(x)>0對任意x∈(0, )恒成立,

當且僅當c≥1時,g(x)<0對任意x∈(0, )恒成立,

所以若a< <b對x∈(0, )上恒成立,則a的最大值為 ,b的最小值為1


【解析】(1)求出f′(x)=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx,判定出在區(qū)間∈(0, )上f′(x)=﹣xsinx<0,得f(x)在區(qū)間∈[0, ]上單調(diào)遞減,從而f(x)≤f(0)=0.(2)當x>0時,“ >a”等價于“sinx﹣ax>0”,“ <b”等價于“sinx﹣bx<0”構(gòu)造函數(shù)g(x)=sinx﹣cx,通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論參數(shù)c求出函數(shù)的最值,進一步求出a,b的最值.
【考點精析】掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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