Question

已知實(shí)數(shù)m，n，若m≥0，n≥0，且m+n=1，則

m2

m+2

+

n2

n+1

的最小值為（　�。�

• A、

  1

  4

• B、

  4

  15

• C、

  1

  8

• D、

  1

  3

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由m≥0，n≥0，且m+n=1，可得n=1-m，（0≤m≤1）．代入

m2

m+2

+

n2

n+1

，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可．

解答：解：∵m≥0，n≥0，且m+n=1，∴n=1-m，（0≤m≤1）．
∴f（m）=

m2

m+2

+

n2

n+1

=

m2

m+2

+

(1-m)2

2-m

=

4

m+2

+

1

2-m

-2．
則f′（m）=

(6-m)(3m-2)

(m2-4)2

，
令f′（m）=0，0≤m≤1，解得m=

2

3

．
當(dāng)0≤m＜

2

3

時(shí)，f′（m）＜0；當(dāng)

2

3

＜m≤1時(shí)，f′（m）＞0．
∴當(dāng)m=

2

3

時(shí)，f（m）取得極小值即最小值，f(

2

3

)=

4

2 3 +2

+

1

2- 2 3

-2=

1

4

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，屬于中檔題．