Question

如圖，設Ox，Oy是平面內相交成60°角的兩條數軸，

e1

，

e2

分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量

OP

=x

e1

+y

e2

，則把有序數對（x，y）叫做向量

OP

在坐標系xOy中的坐標．設

OA

=(-1，2)，

OB

=(3，2)，給出下列三個命題：
①

e1

=（1，0）；
②

OA

⊥

e1

；
③|

OB

|=

13

．
其中，真命題的編號是

①②

．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析：由平面向量基本定理，結合題意得到①正確；由題意算出

e1

•

e2

═

1

2

且

e1

²=

e2

²=1，從而得到

OA

•

e1

=（-

e1

+2

e2

）•

e1

=0，得

OA

⊥

e1

，得②正確；同理算出

OB

2=（3

e1

+2

e2

）²=19，得到|

OB

|=

19

，故③不正確．由此可得本題答案．

解答：解：∵

e1

=x

e1

+y

e2

，當且僅當x=1、y=0
∴向量

e1

的坐標為（1，0），即

e1

=（1，0），故①正確；
∵

e1

•

e2

=|

e1

|•|

e2

|cos60°=

1

2

，

e1

²=

e2

²=1
∴

OA

•

e1

=（-

e1

+2

e2

）•

e1

=-

e1

²+2

e2

•

e1

=-1+2×

1

2

=0
可得

OA

⊥

e1

，得②正確；
∵

OB

=(3，2)=3

e1

+2

e2

∴

OB

2=（3

e1

+2

e2

）²=9

e1

²+12

e1

•

e2

+4

e2

²=9+6+4=19
∴|

OB

|=

OB 2

=

19

，故③不正確
綜上所述，真命題的編號為①②
故答案為：①②

點評：本題給出斜坐標系，判斷幾個命題的真假性．著重考查了向量數量積的定義和運算性質、平面向量基本定理等知識，屬于中檔題．