Question

設函數f（x）=

x2

ax-2

（a∈N^*），又存在非零自然數m，使得f（m）=m，f（-m）＜-

1

m

成立．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）設{a_n}是各項非零的數列，若f(

1

an

)=

1

4(a1+a2+…+an)

對任意n∈N^*成立，求數列{a_n}的一個通項公式；
（3）在（2）的條件下，數列{a_n}是否惟一確定？請給出判斷，并予以證明．

Answer 1

（1）∵f（x）=

x2

ax-2

（a∈N^*），
∴f（m）=

m2

am-2

=m，且m≠0，
∴（a-1）m=2，顯然a≠1，所以m=

2

a-1

①；
又f（-m）=

m2

-am-2

＜-

1

m

，即

m3

am+2

＞1，
由（a，m∈N^*）得：m³＞am+2②，
把①代入②，得

8

(a-1)3

＞

2a

a-1

+2；
整理，得

8

(a-1)3

-

2

a-1

-4＞0，
根據a≠1，a∈N^*，取a=2，滿足上式，當a≥3時，

8

(a-1)3

-

2

a-1

-4＜0，
故a=2，此時m=2；
所以，函數f（x）=

x2

2x-2

．
（2）令s_n=a₁+a₂+…+a_n，根據（1）知f（x）=

x2

2x-2

，則f(

1

an

)=

1

2an-2an2

，
代入f(

1

an

)=

1

4(a1+a2+…+an)

，
得2a_n-2a_n²=4（a₁+a₂+…+a_n）=4s_n，即a_n-a_n²=2s_n，
∴a_n-1-a_n-1²=2s_n-1（n≥2），
∴（a_n-a_n²）-（a_n-1-a_n-1²）=2a_n，
∴a_n+a_n-1=0，或a_n-a_n-1=-1（n≥2），
又當n=1時，a₁-a₁²=2a₁，
∴a₁=0（舍去），或a₁=-1；
由a_n-a_n-1=-1，得{a_n}是等差數列，通項a_n=-n．
（3）由（2）的條件知，數列{a_n}的通項公式不止一個，
例如由a_n+a_n-1=0，且a₁=-1，可得a_n=（-1）ⁿ（n為奇數時）；
所以，數列{a_n}不是惟一確定的．