Question

△ABC的面積為S，三邊長(zhǎng)為a、b、c．
（1）求證：（a+b+c）²＜4（ab+bc+ca）
（2）若S=（a+b）²-c²，a+b=4，求S的最大值．
（3）試比較a²+b²+c²與的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接兩邊作差，把平方展開，整理后結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可得到結(jié)論；
（2）直接根據(jù)，c²=a²+b²-2abcosC以及S=（a+b）²-c²，a+b=4，代入整理得到sinC=4cosC+4求出sinC；再結(jié)合基本不等式求出ab的取值范圍即可得到結(jié)論；
（3）通過(guò)作差結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理整理得到=≥2（a-b）²≥0即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）證明：∵（a+b+c）²-4（ab+bc+ca）=a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc=（a²-ab-ac）+（b²-ab-bc）+（c²-ac-bc）=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-a-b）
∵a、b、c為△ABC的三邊
∴b+c＞a  a+c＞b   a+b＞c
故（a+b+c）²＜4（ab+bc+ca）（4分）
（2）∵，c²=a²+b²-2abcosC
∴
把a(bǔ)+b=4代入整理得：
∴sinC=4cosC+4⇒17cos²C+32cosC+15=0⇒cosC=-1或
∵C∈（0，π）∴（8分）
∴
而∴ab∈（0，4]
∴（10分）
（3）
=
=
=≥2（a-b）²≥0
∴（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查不等式的證明以及三角形中的幾何計(jì)算．考查計(jì)算能力與分析問(wèn)題的能力．通常不等式的證明采用作差法．