Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)且.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當時， ， ，若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】 (1) ；（2）當時, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)弟增;當時, 在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）.

【解析】試題分析：（1）當時，求函數(shù)的導數(shù)，以及和，利用公式求解；（2）求函數(shù)的導數(shù)并化解為，分和，兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，（3）當時，根據(jù)條件可將問題轉(zhuǎn)化為，即根據(jù)（2）求的最小值和求函數(shù)的最大值，求實數(shù)的取值范圍.

試題解析：(1)當時， ，

=

切線的斜率，又，

故切線的方程為，即

（2）且,

()當時, ,

當時, ;當時, .

故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

()當， 有兩個實數(shù)根，

且,故時, 時

時, .

故在上均為單調(diào)增函數(shù),在上為減函數(shù).

綜上所述,當時, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)弟增;當時, 在

、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（3）當時，由（2）知， 又

， 在上為增函數(shù). .依題意有.

故的取值范圍為.