在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.

（1）求證：平面PAC；

（2）若，求PB與AC所成角的余弦值；

（3）若PA=，求證：平面PBC⊥平面PDC

 

【答案】

（1）由線線平行證得 （2） （3）求得從而證明.

【解析】

試題分析：（1）證：因為四邊形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD.又因為PA⊥平面ABCD. 所以PA⊥BD，又AC∩PA=A

所以BD⊥平面PAC.   

（2）解：過B作BM//AC交DA延長線于M，連接PM ∠PBM或其補角為所求

因為BM//AC AM//BC 所以四邊形MACB為平行四邊形 所以BM=AC=2，PB=PM=,所以

 .

(3) 作BH⊥PC,連接HD

PA⊥平面ABCD,AD="AB" PB=PD,又CD="CB" PC="PC" △PBC≌△PDC

BH⊥PC HD⊥PC 因此∠BHD為二面角B-PC-D的平面角

因為AP= BC="2" 有BH=

 所以 面PBC⊥面PDC. 

考點：直線與平面垂直的判定；點、線、面間的距離計算；用空間向量求直線間的夾角、距離．

點評：本小題主要考查空間線面關系的垂直關系的判斷、異面直線所成的角、用空間向量的方法求解直線的

夾角、距離等問題，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算

求解能力.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2011年江蘇省普通高中招生考試數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點
求證：（1）直線EF‖平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省高三下學期模擬預測理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當時，求證：；

（Ⅱ）若邊上有且只有一個點，使得，求此時二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質定理得到。當a=1時，底面ABCD為正方形，

又因為,………………2分

又，得證。

第二問，建立空間直角坐標系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時，存在點Q使得

當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得

由此知道a=2,  設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解：(Ⅰ)當時，底面ABCD為正方形，

又因為,又………………3分

(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系，如圖所示，

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知時，存在點Q使得

當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得由此知道a=2,

設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆福建省高一下學期期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，

平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點求證：（1）直線EF//平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆黑龍江省高二上學期期末考試理科數(shù)學 題型：解答題

（12分）在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，     AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點

求證：（1）直線EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆天津市高二上學期期中考試理科數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點

求證：（1）直線EF//平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD

 

 

 

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