已知x＞－1且x≠0，n∈N*，且n≥2，求證：(1＋x)n＞1＋nx．

答案：
解析：

　　證明：(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，

　　∵x≠0，

　　∴1＋2x＋x2＞1＋2x，∴左邊＞右邊，不等式成立．

　　(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx成立，

　　則當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝(1＋x)k+1＝(1＋x)k(1＋x)．

　　∵x＞－1，∴1＋x＞0．∴(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2．∵x≠0，

　　∴1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x．

　　∴(1＋x)k+1＞1＋(k＋1)x成立，

　　即當(dāng)n＝k＋1時不等式成立．

　　由(1)(2)可知，不等式對于所有的n≥2都成立．

　　思路分析：本題為與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，可用數(shù)學(xué)歸納法證明；在證明時可結(jié)合不等式的性質(zhì)加以變形．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lg（1-x）的定義域為M，函數(shù)y=
1
x
的定義域為N，則M∩N=（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x，y∈R．
（I）若x＞0，y＞0且
1
x
+
4
y
=1，求x+y的最小值；
（II）若f(x)=
1，x≥0
-1，x＜0
，求不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)f（x）=lg（1-x）的定義域為M，函數(shù)y=
1
x
的定義域為N，則M∩N=（　　）
A．{x|x＜1且x≠0}B．{x|x≤1且x≠0}C．{x|x＞1}D．{x|x≤1}

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江蘇省南通市高三考前100題（二） （解析版） 題型：解答題

（1）．已知函數(shù)y=x+（x＞-2），求此函數(shù)的最小值．
（2）已知x＜，求y=4x-1+的最大值；
（3）已知x＞0，y＞0，且5x+7y=20，求xy的最大值；
（4）已知x，y∈R+且x+2y=1，求的最小值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案