Question

【題目】 如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD= ，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O為AD中點．

(1) 求直線PB與平面POC所成角的余弦值;

(2)線段上是否存在一點,使得二面角的余弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】 (1) .(2)存在,.

【解析】試題分析：由PA=PD, O為AD中點，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，可得PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中,易得,所以可以O為坐標(biāo)原點,OC為x軸,OD為y軸, OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解.

試題解析：(1)在中，，為AD的中點，所以,

側(cè)面PAD底面ABCD,PO面ABCD.又在直角梯形ABCD中，連接,則,以O(shè)為坐標(biāo)原點，直線OC為X軸，直線OD為Y軸,直線為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.,,,

所以，直線PB與平面所成角的余弦值為.

(2) 假設(shè)存在，則設(shè)=λ（0＜λ＜1）

因為=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．

設(shè)平面CAQ的法向量為=（a，b，c），則，

所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），

平面CAD的法向量=（0，0，1），

因為二面角Q﹣AC﹣D的余弦值為，

所以=，

所以3λ2﹣10λ+3=0．

所以λ=或λ=3（舍去），

所以=.