Question

若橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（2，1），離心率為

2

2

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)P與F₁，F(xiàn)₂的距離之比為

1

3

，求直線x-

2

y+

3

=0被點(diǎn)P所在的曲線C₂截得的弦長；
（Ⅱ） 設(shè)A₁，A₂分別為橢圓C₁的左、右頂點(diǎn)，Q為C₁上異于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，直線A₁Q交C₁的右準(zhǔn)線于點(diǎn)M，直線A₂Q交C₁的右準(zhǔn)線于點(diǎn)N，求證MF₂⊥NF₂．

Answer 1

分析：（I）由題意得：

22 a2 + 12 b2 =1 c a = 2 2

⇒

a= 6 b= 3 c= 3

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為：（-

3

，0），（

3

，0）．設(shè)點(diǎn)P（x，y）與F₁，F(xiàn)₂的距離之比為

1

3

，得出P所在的曲線C₂是一個圓心在（-

3 3

4

，0）半徑為：

3 3

4

的圓，利用圓的性質(zhì)即可求出直線x-

2

y+

3

=0被點(diǎn)P所在的曲線C₂截得的弦長．
（II）先設(shè)Q（s，t），由題意直線QA₁的方程，直線QA₂的方程．由于橢圓右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

=2

3

，F(xiàn)₂（

3

，0），求出直線QA₁．QA₂分別交橢圓的右準(zhǔn)線于M、N點(diǎn)最后利用斜率公式證得kMF 2•k NF 2=-1即可．

解答：解：由題意得：

22 a2 + 12 b2 =1 c a = 2 2

⇒

a= 6 b= 3 c= 3

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為：（-

3

，0），（

3

，0）．
（I）設(shè)點(diǎn)P（x，y）與F₁，F(xiàn)₂的距離之比為

1

3

，
則：

(x+ 3 ) 2+y 2

(x- 3 ) 2+y 2

=

1

3

⇒（x+

3 3

4

）²+y²=

27

16

，
是一個圓心在（-

3 3

4

，0）半徑為：

3 3

4

的圓，
圓心到直線直線x-

2

y+

3

=0的距離為d=

3 4

3

=

1

4

，
直線x-

2

y+

3

=0被點(diǎn)P所在的曲線C₂截得的弦長為：
2

27 16 - 1 16

=

26

2

．
（II）設(shè)Q（s，t），由題意直線QA₁的方程為

y

t

+

x- 6

s+ 6

=1，
直線QA₂的方程為

y

t

+

x+ 6

s- 6

=1，
由于橢圓右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

=2

3

，F(xiàn)₂（

3

，0），
∵直線QA₁．QA₂分別交橢圓的右準(zhǔn)線于M、N點(diǎn)
∴M（2，

6

s+ 6

t），N（2，

2

s- 6

t）
又P（s，t）在橢圓上，故有t2=3-

s2

2

 代入整理得
kMF 2•k NF 2=-1
∴MF₂⊥NF₂．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的關(guān)系，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．