a,b,c分別是△ABC中角A,B,C的對(duì)邊,且(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)=
185
sinBsinC,邊b和c是關(guān)于x的方程:x2-9x+25cosA=0的兩根(b>c),D為△ABC內(nèi)任一點(diǎn),點(diǎn)D到三邊距離之和為d.
(1)求角A的正弦值;       
 (2)求邊a,b,c;      
(3)求d的取值范圍.
分析:(1)由已知:(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)=
18
5
sinBsinC,利用正弦定理可得b2+c2-a2=
8
5
bc
,進(jìn)而利用余弦定理求cosA,從而可求sinA的值;
(2)由方程x2-9x+25cosA=0,可得x2-9x+20=0,從而b=5,c=4,利用余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=9,可求得a=3;
(3)設(shè)D到三邊的距離分別為x、y、z,利用間接法求出三角形面積并讓其等于6得到關(guān)于x、y和z的等式,而d等于x+y+z,兩者聯(lián)立消去z后表示出y的關(guān)系式,利用距離大于等于0得到一個(gè)不等式組,畫出此不等式組所表示的平面區(qū)域,在平面區(qū)域內(nèi)得到d的最小值和最大值即可得到d的取值范圍.
解答:解:(1)由已知:(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)=
18
5
sinBsinC
由正弦定理∴sin2B+sin2C-sin2A=
8
5
sinBsinC∴b2+c2-a2=
8
5
bc(2分)
由余弦定理cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
4
5
,(3分)
∴sinA=
3
5
(4分)
(2)由(1)方程x2-9x+25cosA=0即x2-9x+20=0,則b=5,c=4(6分)
∴a2=b2+c2-2bccosA=9,∴a=3(8分)
(3)設(shè)D到三邊的距離分別為x、y、z,
S△ABC=
1
2
(3x+4y+5z)=6

d=x+y+z=
12
5
+
1
5
(2x+y)
又x、y滿足
3x+4y≤12
x≥0
y≥0

由d=
12
5
+
1
5
(2x+y)得到y(tǒng)=-2x+5d-12,畫出不等式表示的平面區(qū)域得:y=-2x+5d-12是斜率為-2的一組平行線,
當(dāng)該直線過不等式表示的平面區(qū)域中的O點(diǎn)即原點(diǎn)時(shí)與y軸的截距最小,把(0,0)代入到方程中求得d=
12
5

當(dāng)該直線過A點(diǎn)時(shí),與y軸的截距最大,把A(4.,0)代入即可求得d=4,
所以滿足題意d的范圍為:
12
5
<d<4
點(diǎn)評(píng):本題以三角函數(shù)為載體,考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理、三角形的面積公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值,會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,是一道中檔題.
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在△ABC中,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng),已知a、b、c成等比數(shù)列,且a2-c2=ac-bc,則∠A=( 。
A、30°B、60°C、120°D、150°

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(2009•閘北區(qū)二模)在△ABC中,設(shè)a、b、c分別是∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng),且滿足條件c=2,b=2a,則△ABC面積的最大值為( 。

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在△ABC中,a,b,c分別是A、B、C的對(duì)邊,已知sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列,且a2=c(a+c-b),則角A為


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在△ABC中,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng),已知a、b、c成等比數(shù)列,且a2-c2=ac-bc,則∠A=( 。
A.30°B.60°C.120°D.150°

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