Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣5x﹣18
（1）求不等式g（x）＜0的解集
（2）若對(duì)一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）=2x2﹣5x﹣18＜0

∴（2x﹣9）（x+2）＜0解得 ，

∴不等式g（x）＜0的解集為

（2）解：解法一：∵f（x）=x2﹣2x﹣8當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15恒成立，

∴x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1），

∴對(duì)一切x＞2，均有不等式 成立．

而 （當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立）．

∵x＞2，

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，2]．

解法二：∵f（x）=x2﹣2x﹣8當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15恒成立，

即x2﹣（m+4）x+m+7≥0對(duì)x＞2恒成立

令h（x）=x2﹣（m+4）x+m+7，

△=（m+4）2﹣4（m+7）=m2+4m﹣12=（m+6）（m﹣2）

①當(dāng)h（x）圖象與x軸沒有交點(diǎn)或只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△≤0即﹣6≤m≤2時(shí)滿足條件

②當(dāng)h（x）圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則有 即

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，2]

【解析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）解法一：把函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分離變量m后利用基本不等式求解m的取值范圍．解法二：構(gòu)造函數(shù)h（x）=x2﹣（m+4）x+m+7，根據(jù)方程根的問題，分類討論即可求出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．