Question

(本小題滿分13分)如圖，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，且開口向右，點(diǎn)A，B，C在拋物線上，△ABC的重心F為拋物線的焦點(diǎn)，直線AB的方程為.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M為某定點(diǎn)，過點(diǎn)M的動(dòng)直線l與拋物線相交于P，Q兩點(diǎn)，試推斷是否存在定點(diǎn)M，使得以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)  y²＝16x.   (Ⅱ)   

解析:

（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為，

聯(lián)立消去x，得                               （2分）

設(shè)點(diǎn)，則.

所以.                          （4分）

設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椤鰽BC的重心為，則

，所以.                    （5分）

因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線上，則，解得p＝8，此時(shí).

故拋物線方程為y²＝16x.  （6分）

（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)M的動(dòng)直線l的方程為，代入拋物線方程y²＝16x，得

，所以. （8分）若以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，即.所以，即，所以.

因?yàn)?img width=37 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/44/26044.gif">，所以.（10分）所以直線l的方程為，即，從而直線l必經(jīng)過定點(diǎn). （11分）若直線l的斜率不存在，因?yàn)橹本�與拋物線的交點(diǎn)為，此時(shí)仍有.故存在定點(diǎn)滿足條件. （13分）