對(duì)任意x∈R,給定區(qū)間[k-
1
2
,k+
1
2
](k∈z),設(shè)函數(shù)f(x)表示實(shí)數(shù)x與x的給定區(qū)間內(nèi)
整數(shù)之差的絕對(duì)值.
(1)當(dāng)x∈[-
1
2
,
1
2
]
時(shí),求出f(x)的解析式;當(dāng)x∈[k-
1
2
,k+
1
2
](k∈z)時(shí),寫出用絕對(duì)值符號(hào)表示的f(x)的解析式;
(2)求f(
4
3
),f(-
4
3
)
的值,判斷函數(shù)f(x)(x∈R)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)e-
1
2
<a<1
時(shí),求方程f(x)-loga
x
=0
的實(shí)根.(要求說明理由e-
1
2
1
2
分析:(1)當(dāng)x∈[-
1
2
,
1
2
]時(shí),根據(jù)定義,寫出f(x)的解析式;當(dāng)x∈[k-
1
2
,k+
1
2
](k∈z)時(shí),由定義知:k為與x最近的一個(gè)整數(shù),寫出解析式即可;(2)根據(jù)(1)求得
f(
4
3
),f(-
4
3
)
即可,利用奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f(x)(x∈R)的奇偶性,(3)要求方程f(x)-loga
x
=0
的根,即求|x-k|-
1
2
logax=0的根,分類討論,去掉絕對(duì)值符號(hào),即可求得方程根的個(gè)數(shù).
解答:解:(1)當(dāng)x∈[-
1
2
1
2
]時(shí),
由定義知:x與0距離最近,f(x)=|x|,x∈[-
1
2
1
2
]
當(dāng)x∈[k-
1
2
,k+
1
2
](k∈z)時(shí),
由定義知:k為與x最近的一個(gè)整數(shù),故
f(x)=|x-k|,x∈[k-
1
2
,k+
1
2
](k∈z);
(2)f(
4
3
)
=
1
3
,f(-
4
3
)=
1
3

判斷f(x)是偶函數(shù).
對(duì)任何x∈R,函數(shù)f(x)都存在,且存在k∈Z,滿足
k-
1
2
≤x≤k+
1
2
,f(x)=|x-k|,
由k-
1
2
≤x≤k+
1
2
,可以得出-k-
1
2
≤-x≤-k+
1
2
,
即-x∈[-k-
1
2
,-k+
1
2
],
由(Ⅰ)的結(jié)論,f(-x)=|-x-(-k)|=|k-x|=|x-k|=f(x),
即f(x)是偶函數(shù).
(3)解:f(x)-loga
x
=0
,即|x-k|-
1
2
logax=0,
①當(dāng)x>1時(shí),|x-k|≥0>
1
2
logax,
∴|x-k|-
1
2
logax=0沒有大于1的實(shí)根;
②容易驗(yàn)證x=1為方程|x-k|-
1
2
logax=0的實(shí)根;
③當(dāng)
1
2
<x<1
時(shí),方程|x-k|-
1
2
logax=0變?yōu)?-x-
1
2
logax=0
設(shè)H(x)=
1
2
logax-(1-x)(
1
2
<x<1

則H′(x)=
1
2xlna
+1<
1
2xlne-
1
2
+1=-
1
x
+1<0
,
所以當(dāng)
1
2
<x<1
時(shí),H(x)為減函數(shù),H(x)>H(1)=0,
所以方程沒有
1
2
<x<1
的實(shí)根;
④當(dāng)0<x≤
1
2
時(shí),方程|x-k|-
1
2
logax=0變?yōu)閤-
1
2
logax=0
設(shè)G(x)=
1
2
logax-x(0<x≤
1
2
),顯然G(x)為減函數(shù),
∴G(x)≥G(
1
2
)=H(
1
2
)>0,
所以方程沒有0<x≤
1
2
的實(shí)根.
綜上可知,當(dāng)e-
1
2
<a<1
時(shí),方程f(x)-loga
x
=0
有且僅有一個(gè)實(shí)根,實(shí)根為1.
點(diǎn)評(píng):此題是中檔題.考查新定義求函數(shù)的解析式,以及利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性,分類討論求方程根的個(gè)數(shù)問題,體現(xiàn)了分類討論的思想,同時(shí)考查了利用應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和運(yùn)算能力.
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對(duì)任意x∈R,給定區(qū)間[k-
1
2
,k+
1
2
](k∈Z),設(shè)函數(shù)f(x)表示實(shí)數(shù)x與x的給定區(qū)間內(nèi)整數(shù)之差的絕對(duì)值.
(1)寫出f(x)的解析式;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=loga
x
,(e-
1
2
<a<1),試證明:當(dāng)x>1時(shí),f(x)>g(x);當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)<g(x);
(3)求方程f(x)-loga
x
=0的實(shí)根,(e-
1
2
<a<1).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江蘇省常州市七校聯(lián)考高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

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整數(shù)之差的絕對(duì)值.
(1)當(dāng)時(shí),求出f(x)的解析式;當(dāng)x∈[k-,k+](k∈z)時(shí),寫出用絕對(duì)值符號(hào)表示的f(x)的解析式;
(2)求的值,判斷函數(shù)f(x)(x∈R)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)時(shí),求方程的實(shí)根.(要求說明理由

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年浙江省杭州高級(jí)中學(xué)高三第二次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

對(duì)任意x∈R,給定區(qū)間[k-,k+](k∈z),設(shè)函數(shù)f(x)表示實(shí)數(shù)x與x的給定區(qū)間內(nèi)
整數(shù)之差的絕對(duì)值.
(1)當(dāng)時(shí),求出f(x)的解析式;當(dāng)x∈[k-,k+](k∈z)時(shí),寫出用絕對(duì)值符號(hào)表示的f(x)的解析式;
(2)求的值,判斷函數(shù)f(x)(x∈R)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)時(shí),求方程的實(shí)根.(要求說明理由

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年江蘇省鹽城中學(xué)高考數(shù)學(xué)二模試卷(解析版) 題型:解答題

對(duì)任意x∈R,給定區(qū)間[k-,k+](k∈z),設(shè)函數(shù)f(x)表示實(shí)數(shù)x與x的給定區(qū)間內(nèi)
整數(shù)之差的絕對(duì)值.
(1)當(dāng)時(shí),求出f(x)的解析式;當(dāng)x∈[k-,k+](k∈z)時(shí),寫出用絕對(duì)值符號(hào)表示的f(x)的解析式;
(2)求的值,判斷函數(shù)f(x)(x∈R)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)時(shí),求方程的實(shí)根.(要求說明理由

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